Calcule as integrais: integral-3^1 d xraiz[3]x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integração, especificamente integrando uma função que envolve uma raiz cúbica. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = x + 2
Com isso, a derivada de dudx = 1 Rightarrow du = dx em relação a é:
Então, podemos substituir por e por na integral.

Passo 3

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável u = -3 + 2 = -1 . Quando u = 1 + 2 = 3 :
integral-1^3 1raiz[3]u , du
E quando :
Portanto, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que integral-1^3 u^-1/3 , du . Então, a integral agora é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1)
Para integrar , usamos a regra da potência para integrais, que diz:

Passo 5

Aplicando a regra da potência:
integral u^-1/3 , du = u^(-1/3)+1(-1/3)+1 + C = u^2/32/3 + C = 32 u^2/3 + C
Agora, vamos avaliar isso entre os limites de e .

Passo 6

Substituindo os limites:
32 u^2/3 |-1^3 = 32 (3^2/3 - (-1)^2/3)
Sabemos que .

Passo 7

Calculando os valores:
3^2/3 = (3^1/3)^2 = raiz[3]3^2
Então:
32 (raiz[3]3^2 - 1)

Resposta

A integral é igual a .

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