Calcule integrais integral arctan xa d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta super útil quando temos produtos de funções difíceis de integrar diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vão representar integral u , dv = u cdot v - integral v , du e u = arctan(xa) na fórmula de integração por partes. A fórmula é:
dv = dx
Aqui, vamos escolher:
E, consequentemente,

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx[arctan(xa)] dx = 11 + (xa)^2 cdot 1a dx = aa^2 + x^2 dx e v = integral dx = x . Para isso, vamos derivar e integrar :
E integrando :

Passo 4

Agora que temos integral u , dv = u cdot v - integral v , du , integral arctan(xa) dx = arctan(xa) cdot x - integral x cdot aa^2 + x^2 dx , e , vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo pelos valores que encontramos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral que restou:
integral a xa^2 + x^2 dx
Para isso, vamos fazer uma substituição simples. Vamos chamar o denominador de w = a^2 + x^2 Rightarrow dw = 2x dx Rightarrow x dx = dw2 :
integral a xw dx = a2 integral dww = a2 ln|w| + C = a2 ln(a^2 + x^2) + C
Substituindo na integral:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral arctan(xa) dx = x cdot arctan(xa) - a2 ln(a^2 + x^2) + C

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