Resolva as equações diferenciais lineares dy/dx - y/x = 2 x^2,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear: . Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no padrão padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto de e . Ou seja:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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