Dada equação diferencial exata
. Determine
sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial exata da forma
. O nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função
, sabendo que quando
,
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais exatas e as condições que elas precisam satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
devem corresponder às funções
e
, respectivamente.
Passo 3
Uma condição essencial para que a equação seja exata é que as derivadas cruzadas de
e
sejam iguais, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas para verificar a exatidão e encontrar
.
Passo 4
Dado que
, vamos calcular
:
Passo 5
Agora, sabemos que
.
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função qualquer de
, pois a constante de integração pode depender de
.
Passo 6
Agora, para determinar
, vamos usar a condição inicial dada:
.
Substituindo
na expressão de
:
Passo 7
Com isso, a função
fica:
Resposta
A função
que satisfaz a equação diferencial exata e a condição
é: