Dada equação diferencial exata M(x, y) dx + (2xy + 1/x) dy = 0. Determine M(x, y) sabendo que M(x, 0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial exata da forma . O nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função , sabendo que quando , . Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais exatas e as condições que elas precisam satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma é exata se existir uma função tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e devem corresponder às funções e , respectivamente.

Passo 3

Uma condição essencial para que a equação seja exata é que as derivadas cruzadas de e sejam iguais, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas para verificar a exatidão e encontrar .

Passo 4

Dado que , vamos calcular :

Passo 5

Agora, sabemos que .
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Onde é uma função qualquer de , pois a constante de integração pode depender de .

Passo 6

Agora, para determinar , vamos usar a condição inicial dada: .
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Com isso, a função fica:

Resposta

A função que satisfaz a equação diferencial exata e a condição é:

Exercícios relacionados