Encontre as trajetórias ortogonais das curvas dadas
no sistema cartesiano,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma família de curvas definidas por
, onde
é uma constante. O objetivo é encontrar todas as trajetórias que são ortogonais, ou seja, que cruzam essas curvas em ângulos de 90 graus, no sistema cartesiano. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente sobre derivadas e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir a inclinação (a derivada) das curvas dadas. Vamos derivar
em relação a
.
Mas como
, podemos substituir
:
Passo 3
Agora, sabemos que as trajetórias ortogonais têm inclinações que são os negativos recíprocos das inclinações das curvas originais. Ou seja:
Passo 4
Com a inclinação das trajetórias ortogonais definida, montamos a equação diferencial que elas devem satisfazer:
Passo 5
Vamos resolver essa equação diferencial. Observamos que é uma equação separável, então podemos rearranjar os termos:
Agora, integramos ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas por
, onde
é uma constante.