Calcule as integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função composta que envolve funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração transformando a variável de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar. Observamos que temos , e a derivada de é . Isso sugere que podemos escolher .

Passo 3

Com a substituição , precisamos encontrar . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso nos permite substituir na integral original.

Passo 4

Agora, vamos também mudar os limites de integração de acordo com a nova variável :
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral original se transforma em:

Passo 5

Simplificando a integral, temos:
Aqui, mudamos os limites de integração e retiramos o sinal negativo.

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Sabemos que porque o cosseno é uma função par.

Passo 8

Calculando os valores:

Resposta

A integral vale .

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