Calcule as integrais. integralpi2^pi sen(x) sen(cos x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função composta que envolve funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração transformando a variável de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar. Observamos que temos , e a derivada de sen(cos x) é . Isso sugere que podemos escolher cos x.

Passo 3

Com a substituição u = cos x, precisamos encontrar du. Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
Isso nos permite substituir na integral original.

Passo 4

Agora, vamos também mudar os limites de integração de acordo com a nova variável u:
  • Quando x = pi2, u = cos(pi2) = 0
  • Quando x = pi, u = cos(pi) = -1
Então, a integral original se transforma em:

Passo 5

Simplificando a integral, temos:
Aqui, mudamos os limites de integração e retiramos o sinal negativo.

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a sen(u):
Onde u é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
[-cos(u)]-1^0 = -cos(0) + cos(-1)
Sabemos que cos(-1) = cos(1) porque o cosseno é uma função par.

Passo 8

Calculando os valores:
-cos(0) + cos(1) = -1 + cos(1)

Resposta

A integral vale cos(1) - 1.

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