Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função composta que envolve funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração transformando a variável de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar. Observamos que temos , e a derivada de
é . Isso sugere que podemos escolher
.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos encontrar
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso nos permite substituir na integral original.
Passo 4
Agora, vamos também mudar os limites de integração de acordo com a nova variável
:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral original se transforma em:
Passo 5
Simplificando a integral, temos:
Aqui, mudamos os limites de integração e retiramos o sinal negativo.
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
porque o cosseno é uma função par.
Passo 8
Calculando os valores:
Resposta
A integral vale
.
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