Calcule as integrais: integral 2 d xx^2 raizx^2-1, x>1.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral onde . Isso envolve cálculo de integrais, especificamente utilizando substituição trigonométrica para resolver a expressão que tem uma raiz quadrada com .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Como temos x = sec theta , podemos usar a substituição:
Isso porque , o que vai facilitar a expressão.

Passo 3

Com dx = sec theta tan theta dtheta , derivamos ambos os lados para encontrar :

Passo 4

Agora, substituímos integral 2 dxx^2 raizx^2-1 = integral 2 cdot sec theta tan theta dthetasec^2 theta cdot tan theta e = integral 2 sec theta tan thetasec^2 theta tan theta dtheta = integral 2sec theta dtheta = 2 integral cos theta dtheta na integral original:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
2 integral cos theta dtheta = 2 sin theta + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, precisamos voltar à variável original sin theta = raiz1 - cos^2 theta = raiz1 - 1x^2 = raizx^2 - 1x . Sabemos que 2 sin theta = 2 raizx^2 - 1x , então:
Substituindo isso na expressão:

Resposta

integral 2 dxx^2 raizx^2-1 = 2 raizx^2 - 1x + C

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