Calcule as integrais usando integração por partes:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral
usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes, que ajuda quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
A integração por partes é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que se simplifica quando derivamos, e
como aquela que é fácil de integrar.
Passo 3
Vamos escolher:
-
(porque sua derivada é fácil) -
Agora, vamos calcular
e
:
Para encontrar
, integramos
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a nova integral
. Vamos novamente usar integração por partes, escolhendo:
Assim, temos:
Integrando
:
Passo 6
Aplicamos novamente a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Ou seja:
Passo 7
Agora, observe que temos a integral original
de volta na equação. Vamos chamar essa integral de
:
Resolvendo para
:
Resposta
A integral é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
.
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
Calcule as integrais:
.
(Determinação de área) Determine a área da região delimitada pela curva
e pelo eixo das abscissas (veja a figura a seguir) para:
;