Calcule as integrais usando integração por partes: integral e^theta sen theta d theta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes, que ajuda quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica quando derivamos, e como aquela que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos escolher:
  • du = e^theta , dtheta (porque sua derivada é fácil)
  • v = -cos theta
Agora, vamos calcular e :
Para encontrar , integramos :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral e^theta sin theta , dtheta = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^theta cdot (-cos theta) - integral (-cos theta) cdot e^theta , dtheta
Simplificando:
= -e^theta cos theta + integral e^theta cos theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos calcular a nova integral du = e^theta , dtheta . Vamos novamente usar integração por partes, escolhendo:
  • v = sin theta
Assim, temos:
Integrando :

Passo 6

Aplicamos novamente a fórmula de integração por partes:
integral e^theta cos theta , dtheta = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
= e^theta sin theta - integral sin theta cdot e^theta , dtheta
Ou seja:
= e^theta sin theta - integral e^theta sin theta , dtheta

Passo 7

Agora, observe que temos a integral original I = -e^theta cos theta + ( e^theta sin theta - I ) de volta na equação. Vamos chamar essa integral de I = -e^theta cos theta + e^theta sin theta - I :
2I = e^theta (sin theta - cos theta)
Resolvendo para I = e^theta2 (sin theta - cos theta) + C :

Resposta

A integral é:
integral e^theta sin theta , dtheta = e^theta2 (sin theta - cos theta) + C

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