Calcule as integrais usando integração por partes: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes, que ajuda quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica quando derivamos, e como aquela que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos escolher:
  • (porque sua derivada é fácil)
Agora, vamos calcular e :
Para encontrar , integramos :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a nova integral . Vamos novamente usar integração por partes, escolhendo:
Assim, temos:
Integrando :

Passo 6

Aplicamos novamente a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Ou seja:

Passo 7

Agora, observe que temos a integral original de volta na equação. Vamos chamar essa integral de :
Resolvendo para :

Resposta

A integral é:

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Calcule as integrais: .
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
Calcule as integrais: .
(Determinação de área) Determine a área da região delimitada pela curva
e pelo eixo das abscissas (veja a figura a seguir) para: ;