Considere a região plana encerrada pelas curvas e . - Calcular a área da região R.
Calcular as coordenadas do centroide de R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região plana delimitada pelas curvas e . Nosso objetivo é calcular a área dessa região e encontrar as coordenadas do centroide dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o cálculo da área entre curvas e a determinação do centroide usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso é importante porque define os limites de integração para calcular a área.
Temos:
Vamos rearranjar isso para:
Agora, fatorando a equação quadrática:
Portanto, as soluções são e . Esses serão nossos limites de integração.
Passo 3
Agora, para calcular a área entre as duas curvas, usamos a fórmula:
Á
Onde é a função que está acima e a que está abaixo no intervalo de a .
Entre e , a linha reta está acima da parábola . Portanto:
Á
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo:
Á
Integrando termo a termo:
Agora, substituímos os limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Então, a área é .
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centroide da região . As fórmulas para o centroide são:
Onde é a área que já calculamos.
Passo 6
Vamos calcular :
Integrando:
Calculando para :
Para :
Subtraindo:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Calculando para :
Para :
Subtraindo:
Portanto:
Resposta
A área da região é , e as coordenadas do centroide são e .