Faça um esboço da região limitada pelas curvas
x = y^2 + 1, x = 1/2, y = -2 e y = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer um esboço da região limitada por quatro curvas: , , e . Isso envolve conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre gráficos de funções e regiões delimitadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada curva se comporta no plano cartesiano e identificar onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a curva . Essa é uma equação de uma parábola que abre para o lado positivo do eixo . O termo indica que para cada valor de , temos um valor correspondente de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta vertical . Essa é simplesmente uma linha reta que corta o eixo no ponto e se estende indefinidamente para cima e para baixo no plano.

Passo 4

As retas horizontais e são linhas paralelas ao eixo que cruzam o eixo nos pontos e , respectivamente. Essas linhas vão delimitar a parte inferior e superior da região que vamos esboçar.

Passo 5

Para entender melhor como essas curvas interagem, vamos encontrar os pontos de interseção entre e :
Aqui percebemos que não há solução real, ou seja, as curvas e não se cruzam. Isso significa que a parábola está totalmente à direita da reta .

Passo 6

Com isso, sabemos que a região delimitada está entre a parábola , a reta vertical , e as retas horizontais e . Vamos esboçar isso:
  1. Desenhe a parábola , que abre para a direita.
  2. Trace a reta vertical .
  3. Adicione as linhas horizontais e .

Resposta

O esboço da região limitada pelas curvas , , e consiste em uma área entre a parábola que abre para a direita, a reta vertical à esquerda dessa parábola, e as linhas horizontais que delimitam os valores de de -2 a 2. Essa região se parece com uma “faixa” vertical entre e , limitada inferior e superiormente por e , respectivamente.

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