Estime o valor das seguintes integrais:
(g) integral0^pi2 x sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da integral serão e .

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa técnica é útil quando temos um produto de funções, como é o caso de na nossa integral.

Passo 3

Vamos escolher:
  • du = dx (porque sua derivada é mais simples)
  • v = integral sin x , dx = -cos x (pois é fácil de integrar)
Então, calculamos e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x sin x , dx = uv - integral v , du = -x cos x - integral (-cos x) , dx
Simplificando:
-x cos x + integral cos x , dx

Passo 5

Agora, integramos integral cos x , dx = sin x :
-x cos x + sin x + C
Então, a expressão fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Como queremos calcular a integral definida de [-x cos x + sin x]0^pi2 a -pi2 cos(pi2) + sin(pi2) = -pi2 cdot 0 + 1 = 1 , substituímos esses valores na expressão encontrada:
-0 cdot cos(0) + sin(0) = 0 + 0 = 0
Calculando para :
E para :

Resposta

Portanto, o valor da integral é 1.

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