Resolva as equações: y'' - 6y' + 9y = e^(3x) sen(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo principal aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, usamos a equação caracteristica. Substituímos na equação homogênea, o que nos dá:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação caracteristica:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais:

Passo 4

Com uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes de integração.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito da equação é , tentamos uma solução particular do tipo:
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 6

Derivamos para encontrar e :
Substituindo , e na equação original e igualando os coeficientes, encontramos os valores de e .
Após simplificar, obtemos:
Resolvendo o sistema, encontramos:

Passo 7

Com e determinados, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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