Resolva as equações:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo principal aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, usamos a equação caracteristica. Substituímos
na equação homogênea, o que nos dá:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação caracteristica:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais:
Passo 4
Com uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes de integração.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito da equação é
, tentamos uma solução particular do tipo:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 6
Derivamos
para encontrar
e
:
Substituindo
,
e
na equação original e igualando os coeficientes, encontramos os valores de
e
.
Após simplificar, obtemos:
Resolvendo o sistema, encontramos:
Passo 7
Com
e
determinados, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.