Calcule as integrais
integral(cot 5 x+csc 5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar técnicas de integração que lidam com funções trigonométricas e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral (cot 5x + csc 5x) , dx = integral cot 5x , dx + integral csc 5x , dx

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: integral cot 5x , dx = integral cot u cdot du5 = 15 integral cot u , du = 15 ln |sin u| + C = 15 ln |sin 5x| + C .
Sabemos que é igual a , e a integral de em relação a é . Mas aqui temos uma função composta, , então precisamos usar substituição.
Definindo , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: integral csc 5x , dx = integral csc u cdot du5 = 15 integral csc u , du = 15 (-ln |tan u2|) + C = -15 ln |tan 5x2| + C .
A integral de em relação a é . Novamente, aplicamos substituição.
Com e , substituímos na integral:

Resposta

Juntando as duas integrais, temos:
integral (cot 5x + csc 5x) , dx = 15 ln |sin 5x| - 15 ln |tan 5x2| + C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados