integral-pi / 4^pi / 4[(sen(t)) i+(1+cos (t)) j] d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve vetores! A questão pede para calcular a integral de um vetor que tem componentes envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas e entender como integrar vetores, que aí é basicamente integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral-pi / 4^pi / 4 [ sin(t) i + (1 + cos(t)) j ] dt
Aqui, o vetor é composto por duas partes: uma na direção de i e outra na direção de j. A ideia é integrar cada uma dessas componentes independentemente.

Passo 3

Vamos começar integrando a componente na direção de i:
integral sin(t) , dt
A integral de sin(t) em relação a t é - cos(t). Então, calculamos:
- cos(t) |-pi / 4^pi / 4

Passo 4

Agora, avaliamos os limites dessa integral:
- cos(pi4) + cos(-pi4)
Sabemos que cos(-t) = cos(t), então:
- cos(pi4) + cos(pi4) = 0
Portanto, a componente na direção de i é zero.

Passo 5

Agora, vamos integrar a componente na direção de j:
integral (1 + cos(t)) , dt
A integral de 1 em relação a t é t, e a integral de cos(t) é sin(t). Então, temos:
t + sin(t) |-pi / 4^pi / 4

Passo 6

Avalie os limites dessa integral:
(pi4 + sin(pi4)) - (-pi4 + sin(-pi4))
Sabemos que sin(-t) = -sin(t), então:
pi4 + raiz22 + pi4 - (-raiz22) = pi2 + raiz2

Resposta

A integral resolvida é:
0,i + ( pi2 + raiz2 ) j

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