Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve vetores! A questão pede para calcular a integral de um vetor que tem componentes envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas e entender como integrar vetores, que aí é basicamente integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui, o vetor é composto por duas partes: uma na direção de e outra na direção de . A ideia é integrar cada uma dessas componentes independentemente.

Passo 3

Vamos começar integrando a componente na direção de :
A integral de em relação a é . Então, calculamos:

Passo 4

Agora, avaliamos os limites dessa integral:
Sabemos que , então:
Portanto, a componente na direção de é zero.

Passo 5

Agora, vamos integrar a componente na direção de :
A integral de em relação a é , e a integral de é . Então, temos:

Passo 6

Avalie os limites dessa integral:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral resolvida é:

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(a) ;
(b) ;
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