Calcule as integrais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de uma função que envolve logaritmos naturais de
. O conteúdo aqui é de cálculo de integrais, e para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral que temos:
Vamos simplificar a expressão substituindo
. Isso vai ajudar a deixar a integral mais fácil de resolver.
Passo 3
Com a substituição
, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que
. Agora, vamos reescrever a integral em termos de
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Agora, vamos simplificar o numerador e o denominador.
Passo 5
Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Agora, vamos separar essa fração em termos mais simples.
Passo 6
Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Isso simplifica a integral em duas partes mais fáceis de resolver.
Passo 7
Agora, integramos cada parte separadamente:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando a expressão, temos:
Agora, substituímos de volta
.
Passo 9
Substituindo
, a solução final fica:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Dica: multiplique e divida por
.
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