Calcule as integrais
integral 2 ln x+1x[(ln x)^2+ln x] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de uma função que envolve logaritmos naturais de . O conteúdo aqui é de cálculo de integrais, e para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral que temos:
integral 2 ln x + 1x[(ln x)^2 + ln x] , dx
Vamos simplificar a expressão substituindo . Isso vai ajudar a deixar a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Com a substituição du = 1x dx , a derivada de em relação a é:
Isso significa que . Agora, vamos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral 2u + 1u^2 + u , du
Agora, vamos simplificar o numerador e o denominador.

Passo 5

Podemos dividir o numerador pelo denominador:
2u + 1u^2 + u = 2u + 1u(u + 1)
Agora, vamos separar essa fração em termos mais simples.

Passo 6

Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
2uu(u + 1) + 1u(u + 1) = 2u + 1 + ( 1u - 1u + 1 )
Isso simplifica a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 7

Agora, integramos cada parte separadamente:
integral 2u + 1 , du + integral ( 1u - 1u + 1 ) , du
Isso resulta em:
2 ln|u + 1| + ln|u| - ln|u + 1| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a expressão, temos:
ln|u| + ln|u + 1| + C
Agora, substituímos de volta .

Passo 9

Substituindo ln|ln x| + ln|ln x + 1| + C , a solução final fica:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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