Calcule as integrais

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de uma função que envolve logaritmos naturais de . O conteúdo aqui é de cálculo de integrais, e para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral que temos:
Vamos simplificar a expressão substituindo . Isso vai ajudar a deixar a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Com a substituição , a derivada de em relação a é:
Isso significa que . Agora, vamos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Agora, vamos simplificar o numerador e o denominador.

Passo 5

Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Agora, vamos separar essa fração em termos mais simples.

Passo 6

Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Isso simplifica a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 7

Agora, integramos cada parte separadamente:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a expressão, temos:
Agora, substituímos de volta .

Passo 9

Substituindo , a solução final fica:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Dica: multiplique e divida por .
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