Calcule as integrais.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com funções com denominadores elevados a potências, como substituição trigonométrica ou frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a integral usando uma substituição trigonométrica. Sabemos que aparece frequentemente com a função tangente, então vamos fazer a substituição:
Com essa substituição, a derivada de em relação a é:
Além disso, .

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 4

Para integrar , podemos usar a identidade trigonométrica:
Assim, a integral se torna:

Passo 5

Calculando as integrais separadamente:
e
Então, juntando tudo:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então:
E também, usando a identidade , temos:
Então, substituindo de volta:
e
Portanto, a integral se torna:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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