Calcule as integrais.
integral d x(1+x^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com funções com denominadores elevados a potências, como substituição trigonométrica ou frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a integral usando uma substituição trigonométrica. Sabemos que x = tantheta aparece frequentemente com a função tangente, então vamos fazer a substituição:
dx = sec^2theta , dtheta
Com essa substituição, a derivada de em relação a é:
Além disso, .

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral original, temos:
integral dx(1 + x^2)^2 = integral sec^2theta , dtheta(sec^2theta)^2 = integral sec^2thetasec^4theta , dtheta = integral cos^2theta , dtheta
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 4

Para integrar cos^2theta = 1 + cos2theta2 , podemos usar a identidade trigonométrica:
integral cos^2theta , dtheta = integral 1 + cos2theta2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos2theta , dtheta
Assim, a integral se torna:

Passo 5

Calculando as integrais separadamente:
12 integral 1 , dtheta = theta2
e
12 integral cos2theta , dtheta = 14 sin2theta
Então, juntando tudo:
integral cos^2theta , dtheta = theta2 + sin2theta4 + C
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original theta = tan^-1x . Lembrando que fizemos sin2theta = 2x1 + x^2 , então:
theta2 = 12 tan^-1x
E também, usando a identidade sin2theta4 = 2x4(1 + x^2) = x2(1 + x^2) , temos:
12 tan^-1x + x2(1 + x^2) + C
Então, substituindo de volta:
e
Portanto, a integral se torna:

Resposta

A integral 12 tan^-1x + x2(1 + x^2) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados