Determine o limite.

Passo 1

Vamos determinar o limite de uma função vetorial quando tende ao infinito. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente vetorial separadamente usando conceitos de cálculo de limites, exponenciais, funções racionais e funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da componente . Sabemos que a função exponencial com base e expoente negativo tende a zero quando tende ao infinito:
Portanto, a primeira componente do vetor é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da componente . Para isso, podemos dividir o numerador e o denominador por :
Assim, a segunda componente do vetor é .

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o limite da componente . A função arco-tangente de tende a quando tende ao infinito:
Portanto, a terceira componente do vetor é .

Resposta

O limite é .

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