Determine o limite.
lim s infty[e^-s imath+s-1s+1 jmath+arctg s k]

Passo 1

Vamos determinar o limite de uma função vetorial quando lim s infty[e^-s imath+s-1s+1 jmath+arctg s k] tende ao infinito. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente vetorial separadamente usando conceitos de cálculo de limites, exponenciais, funções racionais e funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da componente lims infty e^-s = 0 . Sabemos que a função exponencial com base e expoente negativo tende a zero quando tende ao infinito:
Portanto, a primeira componente do vetor é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da componente lims infty s-1s+1 = lims infty 1 - 1s1 + 1s = 1 - 01 + 0 = 1 . Para isso, podemos dividir o numerador e o denominador por :
Assim, a segunda componente do vetor é .

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o limite da componente lims infty arctg s = pi2 . A função arco-tangente de tende a quando tende ao infinito:
Portanto, a terceira componente do vetor é .

Resposta

O limite é .

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