Determine o limite.
lim x 0(ln (x+1)x,-3 sec x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o limite de uma expressão quando lim x 0(ln (x+1)x,-3 sec x) se aproxima de 0. A expressão é:
Isso significa que temos duas partes para calcular o limite: e . Vamos resolver cada uma separadamente usando conceitos de limites e funções matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de ln(1 + x) = x - x^22 + x^33 - dots quando limx to 0 ln(1 + x)x = limx to 0 x - x^22 + dotsx = limx to 0 (1 - x2 + dots ) = 1 tende a 0. Sabemos que para valores pequenos de , pode ser aproximado por . Isso é porque o desenvolvimento em série de Taylor para é:
No limite, os termos de ordem superior a desaparecem, então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limx to 0 sec x = sec 0 = 1cos 0 = 1 quando limx to 0 -3 sec x = -3 times 1 = -3 tende a 0. A função é o inverso do cosseno, ou seja, . Sabemos que , então:
Multiplicando por -3:

Resposta

O limite é .

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