Determine o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de um vetor com três componentes quando
tende a menos infinito. Isso significa que precisamos calcular o limite de cada parte do vetor individualmente. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre limites de funções exponenciais, trigonométricas e racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente:
.
Sabemos que
é uma função exponencial que, quando
tende a menos infinito, aproxima-se de zero muito rapidamente. Mesmo que
esteja indo para menos infinito, o fato de
decair mais rápido faz com que o produto
também se aproxime de zero.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
.
A função seno,
, sempre está entre -1 e 1, independente do valor de
. Quando dividimos isso por
, que está indo para menos infinito, o resultado fica cada vez menor, se aproximando de zero.
Então:
Passo 4
Por fim, vamos analisar a terceira componente:
.
Aqui, tanto no numerador quanto no denominador temos polinômios. A regra geral para limites de funções racionais quando
tende a infinito (ou menos infinito) é comparar os graus dos polinômios. No numerador, temos
(grau 2) e no denominador
(grau 1). Como o grau do numerador é maior, o limite vai para infinito ou menos infinito dependendo do sinal.
Como
está indo para menos infinito e
sempre é positivo, o resultado final será negativo infinito:
Resposta
O limite é
.