Determine o limite.
lim t -infty(t e^t, sen tt, t^2t+10)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de um vetor com três componentes quando tende a menos infinito. Isso significa que precisamos calcular o limite de cada parte do vetor individualmente. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre limites de funções exponenciais, trigonométricas e racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: limt to -infty t e^t = 0 .
Sabemos que é uma função exponencial que, quando tende a menos infinito, aproxima-se de zero muito rapidamente. Mesmo que esteja indo para menos infinito, o fato de decair mais rápido faz com que o produto também se aproxime de zero.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: limt to -infty sin tt = 0 .
A função seno, , sempre está entre -1 e 1, independente do valor de . Quando dividimos isso por , que está indo para menos infinito, o resultado fica cada vez menor, se aproximando de zero.
Então:

Passo 4

Por fim, vamos analisar a terceira componente: limt to -infty t^2t + 10 = -infty .
Aqui, tanto no numerador quanto no denominador temos polinômios. A regra geral para limites de funções racionais quando tende a infinito (ou menos infinito) é comparar os graus dos polinômios. No numerador, temos (grau 2) e no denominador (grau 1). Como o grau do numerador é maior, o limite vai para infinito ou menos infinito dependendo do sinal.
Como está indo para menos infinito e sempre é positivo, o resultado final será negativo infinito:

Resposta

O limite é .

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