Calcule as integrais integral d xraiz2 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente substituição para simplificar a expressão. Precisaremos manipular a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 2x - x^2 = -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x) . Podemos reescrever de uma forma que facilite a integração. Vamos completar o quadrado:

Passo 3

Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Substituindo de volta:
2x - x^2 = -[(x - 1)^2 - 1] = 1 - (x - 1)^2

Passo 4

Então, a integral fica:
integral dxraiz1 - (x - 1)^2

Passo 5

Reconhecemos que a integral é uma forma padrão que resulta em , onde é a constante de integração. Aqui, temos .

Passo 6

Aplicando a substituição integral duraiz1 - u^2 = arcsin(u) + C , temos . Portanto, a integral se torna:

Passo 7

Voltando para a variável original arcsin(u) + C = arcsin(x - 1) + C :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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