Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde F(x, y, z)=(y z,-x z, x^2+y^2) e S é a superfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga (1,0,1) a (0,0,3), em torno do eixo z, com n tendo a componente z não negativa.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície , onde . A superfície é gerada ao girar o segmento de reta que liga os pontos e em torno do eixo . Além disso, o vetor normal tem a componente não negativa. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo através de uma superfície e, possivelmente, o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que relaciona a integral de superfície com a integral de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície . Estamos girando a reta que conecta a em torno do eixo . Isso vai gerar um cone truncado ou um cilindro inclinado. Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar essa superfície ou usar o Teorema de Gauss, que facilita a vida transformando a integral de superfície em uma integral de volume.

Passo 3

Vamos optar pelo Teorema de Gauss. Para aplicá-lo, precisamos calcular a divergência de , que é . A divergência nos dá uma medida de quanto o vetor “se expande” ou “se contrai” em cada ponto.

Passo 4

Calculando a divergência:
nabla cdot F = partialpartial x(y z) + partialpartial y(-x z) + partialpartial z(x^2 + y^2)
Vamos derivar cada termo:
partialpartial x(y z) = 0 (pois y e z são tratadas como constantes em relação a x) ãçã
partialpartial y(-x z) = 0 (sim pelo mesmo motivo)
partialpartial z(x^2 + y^2) = 0 (novamente, x e y são constantes em relação a z) ãçã
Então,
nabla cdot F = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 5

Como a divergência é zero, pelo Teorema de Gauss temos que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV = 0
Aqui, é o volume limitado pela superfície , mas como a divergência é zero, a integral de superfície também será zero.

Resposta

Portanto, o valor da integral de fluxo é .

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