Calcule
, onde
e
é a superfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga
a
, em torno do eixo
, com
tendo a componente
não negativa.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é gerada ao girar o segmento de reta que liga os pontos
e
em torno do eixo
. Além disso, o vetor normal
tem a componente
não negativa. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo através de uma superfície e, possivelmente, o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que relaciona a integral de superfície com a integral de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície
. Estamos girando a reta que conecta
a
em torno do eixo
. Isso vai gerar um cone truncado ou um cilindro inclinado. Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar essa superfície ou usar o Teorema de Gauss, que facilita a vida transformando a integral de superfície em uma integral de volume.
Passo 3
Vamos optar pelo Teorema de Gauss. Para aplicá-lo, precisamos calcular a divergência de
, que é
. A divergência nos dá uma medida de quanto o vetor
“se expande” ou “se contrai” em cada ponto.
Passo 4
Calculando a divergência:
Vamos derivar cada termo:
Então,
Passo 5
Como a divergência é zero, pelo Teorema de Gauss temos que:
Aqui,
é o volume limitado pela superfície
, mas como a divergência é zero, a integral de superfície também será zero.
Resposta
Portanto, o valor da integral de fluxo é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
Calcule as integrais definidas abaixo.
(b)
(b)
Calcule a integral ao longo de
(orientada no sentido anti-horário).
é a elipse de equação
Calcule as integrais