Calcule a integral ao longo de C (orientada no sentido anti-horário). integralC(e^x-3 y) d x+(e^y-6 x) d y ; C é a elipse de equação x^2+4 y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral ao longo de uma curva , que é uma elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green. Vamos precisar entender como transformar a integral de linha em uma integral dupla para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa integral. A integral que queremos calcular é:
integralC(e^x - 3y) , dx + (e^y - 6x) , dy
Aqui, podemos ver que temos um campo vetorial P = e^x - 3y e Q = e^y - 6x , onde:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy delimitada pela elipse . O teorema diz que:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
partial Qpartial x = partialpartial x (e^y - 6x) = -6
partial Ppartial y = partialpartial y (e^x - 3y) = -3
Substituindo na expressão do teorema:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -6 - (-3) = -3

Passo 5

Agora, nossa integral dupla fica:
integral duplaD (-3) , dx , dy = -3 integral duplaD dx , dy
Isso significa que precisamos calcular a área da região , que é a elipse .

Passo 6

Para achar a área da elipse x^21^2 + y^2(12)^2 = 1 , reconhecemos que é uma elipse centrada na origem com semi-eixos Área = pi times 1 times 12 = pi2 (em ) e (em ), já que podemos reescrever a equação como:
A área de uma elipse é dada por . Então:
Á

Passo 7

Voltando à nossa integral dupla:
-3 integral duplaD dx , dy = -3 times pi2 = -3pi2

Resposta

A integral ao longo de é igual a .

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