Calcule a integral ao longo de
(orientada no sentido anti-horário).
é a elipse de equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral ao longo de uma curva
, que é uma elipse dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green. Vamos precisar entender como transformar a integral de linha em uma integral dupla para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa integral. A integral que queremos calcular é:
Aqui, podemos ver que temos um campo vetorial
, onde:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região
delimitada pela elipse
. O teorema diz que:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
Substituindo na expressão do teorema:
Passo 5
Agora, nossa integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular a área da região
, que é a elipse
.
Passo 6
Para achar a área da elipse
, reconhecemos que é uma elipse centrada na origem com semi-eixos
(em
) e
(em
), já que podemos reescrever a equação como:
A área de uma elipse é dada por
. Então:
Passo 7
Voltando à nossa integral dupla:
Resposta
A integral ao longo de
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a superfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga
a
, em torno do eixo
, com
tendo a componente
não negativa.
Calcule a integral.
Calcule as integrais
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.