Calcule a integral ao longo de (orientada no sentido anti-horário). é a elipse de equação

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral ao longo de uma curva , que é uma elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green. Vamos precisar entender como transformar a integral de linha em uma integral dupla para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa integral. A integral que queremos calcular é:
Aqui, podemos ver que temos um campo vetorial , onde:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela elipse . O teorema diz que:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
Substituindo na expressão do teorema:

Passo 5

Agora, nossa integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular a área da região , que é a elipse .

Passo 6

Para achar a área da elipse , reconhecemos que é uma elipse centrada na origem com semi-eixos (em ) e (em ), já que podemos reescrever a equação como:
A área de uma elipse é dada por . Então:
Á

Passo 7

Voltando à nossa integral dupla:

Resposta

A integral ao longo de é igual a .

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