Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Entendendo o problema
Vamos analisar a integral
. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente o teste de comparação para determinar a convergência.
Passo 2
Comportamento da função integranda
Primeiro, vamos entender como a função
se comporta nos extremos do intervalo de integração, ou seja, quando
se aproxima de 0 e quando
vai para o infinito.
-
Quando
se aproxima de 0: Aqui, a função se comporta como uma constante,. -
Quando
vai para o infinito: Nesse caso, a função se comporta como.
Passo 3
Aplicando o teste de comparação para a convergência
Para determinar a convergência da integral, vamos comparar com a integral de uma função que conhecemos o comportamento:
Sabemos que essa integral converge se
e diverge se
.
No nosso caso, a função aproximada para
grande é
, então
.
Como
, a integral
diverge.
Passo 4
Analisando o comportamento próximo de zero
Apesar do comportamento no infinito indicar divergência, também precisamos verificar o comportamento próximo de
.
Como vimos no Passo 2, a função se comporta como uma constante (
) quando
se aproxima de 0. A integral de uma constante no intervalo finito
é finita, ou seja,
.
Passo 5
Conclusão sobre a convergência da integral original
A integral
pode ser dividida em duas partes:
- A primeira parte
é finita. - A segunda parte
diverge.
Como uma das partes diverge, a integral completa também diverge.
Resposta
A integral
diverge.