Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^infty 1raiz[4]1+x d x

Passo 1

Entendendo o problema
Vamos analisar a integral . Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente o teste de comparação para determinar a convergência.

Passo 2

Comportamento da função integranda
Primeiro, vamos entender como a função 1raiz[4]1+x approx 1raiz[4]1 = 1 se comporta nos extremos do intervalo de integração, ou seja, quando 1raiz[4]1+x approx 1raiz[4]x = x^-14 se aproxima de 0 e quando vai para o infinito.
  • Quando se aproxima de 0:
    Aqui, a função se comporta como uma constante, .
  • Quando vai para o infinito:
    Nesse caso, a função se comporta como .

Passo 3

Aplicando o teste de comparação para a convergência
Para determinar a convergência da integral, vamos comparar com a integral de uma função que conhecemos o comportamento:
integral1^infty x^-p , dx
Sabemos que essa integral converge se e diverge se .
No nosso caso, a função aproximada para grande é , então .
Como , a integral diverge.

Passo 4

Analisando o comportamento próximo de zero
Apesar do comportamento no infinito indicar divergência, também precisamos verificar o comportamento próximo de .
Como vimos no Passo 2, a função se comporta como uma constante ( ) quando se aproxima de 0. A integral de uma constante no intervalo finito é finita, ou seja, .

Passo 5

Conclusão sobre a convergência da integral original
A integral integral0^infty 1raiz[4]1+x , dx = integral0^1 1raiz[4]1+x , dx + integral1^infty 1raiz[4]1+x , dx pode ser dividida em duas partes:
  • A primeira parte é finita.
  • A segunda parte diverge.
Como uma das partes diverge, a integral completa também diverge.

Resposta

A integral diverge.

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