Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as assíntotas oblíquas da função . Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamentos assintóticos de funções. Vamos precisar entender como a função se comporta quando cresce muito, tanto positivamente quanto negativamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando tende a mais infinito () e a menos infinito (). As assíntotas oblíquas são retas que a função se aproxima quando vai para .
Passo 3
Para encontrar a assíntota oblíqua, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que o termo dominante é . Podemos fatorar de dentro da raiz:
Passo 4
Sabemos que . Como estamos analisando o comportamento quando tende a e , podemos considerar:
Para positivo ():
Passo 5
Quando tende a , os termos e ficam muito pequenos, então podemos aproximar a raiz usando expansão de Taylor até o primeiro termo:
Então, temos:
Passo 6
Portanto, quando , a função se comporta aproximadamente como . Essa é a nossa primeira candidata para a assíntota oblíqua.
Passo 7
Agora, vamos verificar o comportamento para . Nesse caso, (já que é negativo), então:
Passo 8
Portanto, quando , a função se aproxima de . Essa é a segunda assíntota oblíqua.