Determine as assíntotas oblíquas da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as assíntotas oblíquas da função . Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamentos assintóticos de funções. Vamos precisar entender como a função se comporta quando cresce muito, tanto positivamente quanto negativamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando tende a mais infinito ( ) e a menos infinito ( ). As assíntotas oblíquas são retas que a função se aproxima quando vai para .

Passo 3

Para encontrar a assíntota oblíqua, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que o termo dominante é . Podemos fatorar de dentro da raiz:

Passo 4

Sabemos que . Como estamos analisando o comportamento quando tende a e , podemos considerar:
Para positivo ( ):

Passo 5

Quando tende a , os termos e ficam muito pequenos, então podemos aproximar a raiz usando expansão de Taylor até o primeiro termo:
Então, temos:

Passo 6

Portanto, quando , a função se comporta aproximadamente como . Essa é a nossa primeira candidata para a assíntota oblíqua.

Passo 7

Agora, vamos verificar o comportamento para . Nesse caso, (já que é negativo), então:

Passo 8

Portanto, quando , a função se aproxima de . Essa é a segunda assíntota oblíqua.

Resposta

As assíntotas oblíquas da função são:

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Considere a função com as seguintes informações: f não possui raízes, .
Esboce o gráfico da função .
Calcule a integral
Calcule a integral , usando a substituição dada no item (a) e conclua que o resultado é igual a , onde é constante.
Calcule as integrais: