Determine as assíntotas oblíquas da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as assíntotas oblíquas da função
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamentos assintóticos de funções. Vamos precisar entender como a função se comporta quando
cresce muito, tanto positivamente quanto negativamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função
quando
tende a mais infinito (
) e a menos infinito (
). As assíntotas oblíquas são retas que a função se aproxima quando
vai para
.
Passo 3
Para encontrar a assíntota oblíqua, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que o termo dominante é
. Podemos fatorar
de dentro da raiz:
Passo 4
Sabemos que
. Como estamos analisando o comportamento quando
tende a
e
, podemos considerar:
Para
positivo (
):
Passo 5
Quando
tende a
, os termos
e
ficam muito pequenos, então podemos aproximar a raiz usando expansão de Taylor até o primeiro termo:
Então, temos:
Passo 6
Portanto, quando
, a função
se comporta aproximadamente como
. Essa é a nossa primeira candidata para a assíntota oblíqua.
Passo 7
Agora, vamos verificar o comportamento para
. Nesse caso,
(já que
é negativo), então:
Passo 8
Portanto, quando
, a função
se aproxima de
. Essa é a segunda assíntota oblíqua.
Resposta
As assíntotas oblíquas da função
são: