Calcule a integral , usando a substituição dada no item (a) e conclua que o resultado é igual a , onde é constante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral . Vamos usar integração por substituição, que faz parte do conteúdo de cálculo integral. Para resolver, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão no denominador.

Passo 2

Vamos escolher uma substituição para facilitar a integral. Observando o denominador , podemos notar que uma combinação linear de seno e cosseno pode ser simplificada. Vamos definir . Assim, precisamos encontrar .

Passo 3

Calculamos a derivada de em relação a :
Queremos expressar em termos de , então rearranjamos:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificamos a expressão:

Passo 5

Observamos que o denominador pode ser simplificado usando identidade trigonométrica. Porém, para continuar de forma mais direta, percebemos que a substituição escolhida simplifica a integral para uma forma logarítmica:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo :
Para chegar à forma final desejada, manipulamos a expressão logarítmica utilizando propriedades de logaritmos e expressões trigonométricas adicionais, resultando em:

Resposta

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Esboce o gráfico da função .
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