Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais internas (primeiro integrando em relação a ) e depois integrais externas (em relação a ). Também vamos usar algumas regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: . Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, vamos integrar cada uma delas.

Passo 4

Integrando o primeiro termo:
E para o segundo termo:
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração substituindo por e por :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:

Passo 7

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Substituindo e :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Uma coluna de flange largo de aço com perfil HE-320A, está apoiada por pinos nas extremidades e tem comprimento de . A coluna suporta um carregamento aplicado no centroide e um carregamento aplicado excentricamente . Aflexão ocorre sobre o eixo 1-1 da seção transversal e o carregamento excêntrico age no eixo 2-2 a uma distância de 400 mm a partir do centroide C. a) Usando a fórmula da secante e assumindo , calcule a tensão de compressão máxima na coluna; b) Se a tensão de escoamento para o aço é 300 MPa , qual é o fator de segurança com relação ao escoamento?
Dados: A (área da seção):
r (raio de giração)
(Distância entre os topos das mesas)
(a)
(b)
A seção transversal de uma barragem é mostrada na figura abaixo e tem a largura de 30m na base e altura de 60 m . A base é engastada. Calcule o deslocamento resultante no topo da barragem devido à carga triangular distribuída. O módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson e densidade do concreto da barragem são: e , respectivamente.
Encontre o volume abaixo do paraboloide e acima do círculo .
Calcule as integrais: .