integral0^1 integral0^1-y(x+y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral0^1 integral0^1-y(x+y^2) dx, dy. Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais internas (primeiro integrando em relação a x) e depois integrais externas (em relação a y). Também vamos usar algumas regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: integral0^1-y (x + y^2) dx. Aqui, tratamos y como uma constante porque estamos integrando em relação a x.

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^1-y x , dx + integral0^1-y y^2 , dx
Agora, vamos integrar cada uma delas.

Passo 4

Integrando o primeiro termo:
integral x , dx = 12x^2
E para o segundo termo:
integral y^2 , dx = y^2x
Então, a integral interna fica:
[12x^2 + y^2x]0^1-y

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração substituindo x por 1-y e por 0:
12(1-y)^2 + y^2(1-y) - ( 12(0)^2 + y^2(0) ) = 12(1-y)^2 + y^2(1-y)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
12(1 - 2y + y^2) + y^2 - y^3 = 12 - y + 12y^2 + y^2 - y^3 = 12 - y + 32y^2 - y^3

Passo 7

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a y de 0 a 1:
integral0^1 (12 - y + 32y^2 - y^3) dy

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
12y - 12y^2 + 12y^3 - 14y^4 g|0^1

Passo 9

Substituindo y = 1 e y = 0:
(12(1) - 12(1)^2 + 12(1)^3 - 14(1)^4) - 0 = 12 - 12 + 12 - 14 = 14

Resposta

O valor da integral é 14.

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