Determine A área delimitada entre as curvas de
e
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área delimitada entre as curvas de
e
no intervalo
. Esse problema está relacionado ao estudo de àreas entre curvas na matéria de cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender onde as duas funções se encontram e calcular a integral da diferença entre elas nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir os pontos onde as duas funções se interceptam, ou seja, onde
. Lembrando que
é o inverso de
, então:
Multiplicando ambos os lados por
(desde que
):
Isso nos dá:
No intervalo
,
quando
e
, e
quando
.
Passo 3
Agora que sabemos os pontos de interseção são
,
e
, vamos analisar o comportamento das funções nesses intervalos para determinar qual está acima da outra:
-
Em
: - Para
, , então . - Para
, , portanto e . Porém, tende ao infinito negativo perto de .
- Para
-
Em
: - Para
, , então . - Para
, , assim .
- Para
Dessa forma, a área entre as curvas será calculada em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 4
Vamos calcular a área
entre as curvas usando a fórmula da integral definida da diferença das funções:
Onde
está acima de
no intervalo considerado. Aplicando isso:
Passo 5
Vamos simplificar as integrais:
- De
a :
- De
a :
Portanto,
Passo 6
Vamos resolver as integrais separadamente:
Aplicando isso aos limites de integração:
Passo 7
Calculando cada parte:
- De
a :
Sabendo que
,
,
,
, e
,
:
- De
a :
Sabendo que
,
,
,
, e
,
:
Passo 8
Somando as duas áreas:
Isso indica que, no intervalo considerado, as áreas positivas e negativas se cancelam. Porém, como estamos interessados na área total entre as curvas, devemos considerar o valor absoluto das integrais.
Passo 9
Recalculando com valor absoluto:
Como ambas as integrais resultaram em zero devido à simetria, a área total é: