Determine A área delimitada entre as curvas de e

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área delimitada entre as curvas de e no intervalo . Esse problema está relacionado ao estudo de àreas entre curvas na matéria de cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender onde as duas funções se encontram e calcular a integral da diferença entre elas nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir os pontos onde as duas funções se interceptam, ou seja, onde . Lembrando que é o inverso de , então:
Multiplicando ambos os lados por (desde que ):
Isso nos dá:
No intervalo , quando e , e quando .

Passo 3

Agora que sabemos os pontos de interseção são , e , vamos analisar o comportamento das funções nesses intervalos para determinar qual está acima da outra:
  • Em :
    • Para , , então .
    • Para , , portanto e . Porém, tende ao infinito negativo perto de .
  • Em :
    • Para , , então .
    • Para , , assim .
Dessa forma, a área entre as curvas será calculada em duas partes: de a e de a .

Passo 4

Vamos calcular a área entre as curvas usando a fórmula da integral definida da diferença das funções:
Onde está acima de no intervalo considerado. Aplicando isso:

Passo 5

Vamos simplificar as integrais:
  1. De a :
  1. De a :
é
Portanto,

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente:
Aplicando isso aos limites de integração:

Passo 7

Calculando cada parte:
  1. De a :
Sabendo que , , , , e , :
  1. De a :
Sabendo que , , , , e , :

Passo 8

Somando as duas áreas:
Isso indica que, no intervalo considerado, as áreas positivas e negativas se cancelam. Porém, como estamos interessados na área total entre as curvas, devemos considerar o valor absoluto das integrais.

Passo 9

Recalculando com valor absoluto:
Como ambas as integrais resultaram em zero devido à simetria, a área total é:

Resposta

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