Calcule as integrais: integral d xx^2-6 x+18

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dxx^2-6x+18. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar a fórmula da integral do arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 - 6x + 18. Isso ajuda a reescrever a expressão de uma forma que facilita a integração.

Passo 3

Para completar o quadrado, olhamos para os primeiros dois termos:
x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9
Agora, substituímos de volta na expressão original:
x^2 - 6x + 18 = (x - 3)^2 - 9 + 18 = (x - 3)^2 + 9

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral dx(x - 3)^2 + 9
Isso se assemelha à forma padrão da integral:
integral duu^2 + a^2 = 1a arctan(ua) + C
onde a = 3 e u = x - 3.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral dx(x - 3)^2 + 9 = 13 arctan(x - 33) + C

Resposta

A integral é igual a 13 arctan(x - 33) + C.

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