A integral imprópria
converge ou diverge? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral imprópria do tipo
. O assunto aqui é sobre integrais impróprias e queremos saber se essa integral converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou se diverge. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função dentro da integral nos limites de integração, ou seja, quando
se aproxima de 0 e quando
vai para mais infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a análise. Temos
. Vamos fazer uma substituição para deixar isso mais simples. Seja
, então
e
. Substituindo na integral:
Aqui,
varia de 0 a
, igual ao
original.
Passo 3
Agora, a integral ficou bem mais simples:
. Sabemos que
é uma integral conhecida que representa a área sob a curva da função exponencial decrescente. Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Calculando a integral:
Aqui, usamos o fato de que
e
.
Passo 5
Agora, multiplicando pelo 2 que tínhamos antes:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é 2.
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