A integral imprópria converge ou diverge? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral imprópria do tipo . O assunto aqui é sobre integrais impróprias e queremos saber se essa integral converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou se diverge. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função dentro da integral nos limites de integração, ou seja, quando se aproxima de 0 e quando vai para mais infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a análise. Temos . Vamos fazer uma substituição para deixar isso mais simples. Seja , então e . Substituindo na integral:
Aqui, varia de 0 a , igual ao original.

Passo 3

Agora, a integral ficou bem mais simples: . Sabemos que é uma integral conhecida que representa a área sob a curva da função exponencial decrescente. Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Calculando a integral:
Aqui, usamos o fato de que e .

Passo 5

Agora, multiplicando pelo 2 que tínhamos antes:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é 2.

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