Calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica fundamental em cálculo para integrar o produto de duas funções. Vamos precisar escolher quais partes da função serão e e seguir os passos direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Agora, vamos escolher:
Escolher e dessa forma vai facilitar nossos cálculos porque a derivada de e a integral de são diretas de achar.

Passo 3

Vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma nova integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral.
Escolhemos:

Passo 6

Calculando e :
  • Derivando :
  • Integrando :
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando:

Passo 7

Vamos substituir essa última integral de volta na nossa expressão original:
Simplificando:
Agora, vamos chamar a integral original de :
Rearranjando para isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a .

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