Calcule a integral integral e^3 x sen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica fundamental em cálculo para integrar o produto de duas funções. Vamos precisar escolher quais partes da função serão e e seguir os passos direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Agora, vamos escolher:
Escolher e dessa forma vai facilitar nossos cálculos porque a derivada de e a integral de são diretas de achar.

Passo 3

Vamos calcular du = ddx e^3x , dx = 3 e^3x , dx e v = integral sen(2x) , dx = -12 cos(2x) :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
integral e^3x sen(2x) , dx = u , v - integral v , du
Simplificando:
= e^3x (-12 cos(2x)) - integral (-12 cos(2x)) cdot 3 e^3x , dx

Passo 5

Agora, temos uma nova integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral.
Escolhemos:

Passo 6

Calculando du = 3 e^3x , dx e v = integral cos(2x) , dx = 12 sen(2x) :
  • Derivando integral e^3x cos(2x) , dx = e^3x cdot 12 sen(2x) - integral 12 sen(2x) cdot 3 e^3x , dx :
    = 12 e^3x sen(2x) - 32 integral e^3x sen(2x) , dx
  • Integrando :
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando:

Passo 7

Vamos substituir essa última integral de volta na nossa expressão original:
Simplificando:
Agora, vamos chamar a integral original de integral e^3x sen(2x) , dx = -12 e^3x cos(2x) + 32 ( 12 e^3x sen(2x) - 32 integral e^3x sen(2x) , dx ) :
Rearranjando para isolar integral e^3x sen(2x) , dx = -12 e^3x cos(2x) + 34 e^3x sen(2x) - 94 integral e^3x sen(2x) , dx :
Dividindo ambos os lados por I = -12 e^3x cos(2x) + 34 e^3x sen(2x) - 94 I :
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a .

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