Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica fundamental em cálculo para integrar o produto de duas funções. Vamos precisar escolher quais partes da função serão
e
e seguir os passos direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Agora, vamos escolher:
Escolher
e
dessa forma vai facilitar nossos cálculos porque a derivada de
e a integral de são diretas de achar.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral.
Escolhemos:
Passo 6
Calculando
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
:
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando:
Passo 7
Vamos substituir essa última integral de volta na nossa expressão original:
Simplificando:
Agora, vamos chamar a integral original de
:
Rearranjando para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A integral é igual a .
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Dada a função
. Encontre: Os pontos críticos (Valor: 10%);