Esboce a regiāo limitada pelos gráficos das equaçōes
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar a região limitada pelos gráficos das equações
e
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, que envolve desenhar e analisar gráficos de equações no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se encontram e entender como elas se comportam no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas equações. Isso significa encontrar os valores de
que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Temos:
Podemos substituir o
da primeira equação na segunda:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Agora, encontrando os valores de
:
Então:
Passo 5
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a primeira equação
.
Para
:
Então, um ponto de interseção é
.
Para
:
Então, o outro ponto de interseção é
.
Passo 6
Agora que sabemos onde as duas curvas se encontram, vamos entender como elas se comportam. A equação
representa uma parábola que abre para a direita, enquanto
é uma reta com inclinação negativa.
Vamos esboçar os gráficos:
- Parábola
: Tem seu vértice no ponto e se abre para a direita. - Reta
: Podemos reescrever como , indicando que para cada aumento em , diminui.
Passo 7
Com os pontos de interseção
e
, podemos desenhar ambas as curvas no mesmo plano:
- A parábola começa no ponto
e passa por e . - A reta passa por esses mesmos pontos de interseção.
A região limitada por essas duas curvas é a área entre a parábola e a reta, entre
e
.
Resposta
A região limitada pelas equações
e
está entre a parábola
e a reta
, delimitada pelos pontos de interseção
e
. O esboço mostra a parábola abrindo para a direita e a reta atravessando-a nesses pontos, formando a área limitada.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
Encontre o polinômio de Taylor de grau 4 da funçăo
, no ponto
do item (A)
Calcule a integral
Calcule a derivada das funções: