Esboce a regiāo limitada pelos gráficos das equaçōes

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar a região limitada pelos gráficos das equações e . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, que envolve desenhar e analisar gráficos de equações no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se encontram e entender como elas se comportam no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas equações. Isso significa encontrar os valores de que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Temos:
Podemos substituir o da primeira equação na segunda:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de .

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Calculando o discriminante:
Agora, encontrando os valores de :
Então:

Passo 5

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando a primeira equação .
Para :
Então, um ponto de interseção é .
Para :
Então, o outro ponto de interseção é .

Passo 6

Agora que sabemos onde as duas curvas se encontram, vamos entender como elas se comportam. A equação representa uma parábola que abre para a direita, enquanto é uma reta com inclinação negativa.
Vamos esboçar os gráficos:
  1. Parábola : Tem seu vértice no ponto e se abre para a direita.
  2. Reta : Podemos reescrever como , indicando que para cada aumento em , diminui.

Passo 7

Com os pontos de interseção e , podemos desenhar ambas as curvas no mesmo plano:
  • A parábola começa no ponto e passa por e .
  • A reta passa por esses mesmos pontos de interseção.
A região limitada por essas duas curvas é a área entre a parábola e a reta, entre e .

Resposta

A região limitada pelas equações e está entre a parábola e a reta , delimitada pelos pontos de interseção e . O esboço mostra a parábola abrindo para a direita e a reta atravessando-a nesses pontos, formando a área limitada.

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