Considere as retas r1 e r2 :
r1: x-4 2=-1=z+1
ll & x=1 -2 e r2: & y 4=z-2-3
(b) Determinar o ^angulo entre r1 e r2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas retas, e , definidas por suas equações. O objetivo é determinar o ângulo entre essas duas retas. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula que relaciona o ângulo entre duas retas com os seus vetores diretores.

Passo 2

Vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta é aquele que indica a direção da reta no espaço. Para x - 42 = y-1 = z + 1? e x = 1 y = -2 z = z - 2-3 , precisamos reescrever as equações de forma que fiquem claras as direções.
Para :
Parece que houve um pequeno erro de digitação na equação de . Vamos supor que a terceira parte seja igual a algum parâmetro, digamos . Assim, podemos definir o vetor diretor de como .
Para :
Aqui, podemos interpretar que o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores cos theta = d1 cdot d2|d1| |d2| e , podemos usar a fórmula do ângulo entre duas retas no espaço. A fórmula é baseada no produto escalar:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores diretores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores diretores.
  • é o ângulo entre as retas.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar d1 cdot d2 = (2)(0) + (-1)(0) + (c)(-3) = -3c . Considerando e :

Passo 5

Agora, vamos calcular as normas dos vetores diretores:
|d1| = raiz2^2 + (-1)^2 + c^2 = raiz4 + 1 + c^2 = raiz5 + c^2
|d2| = raiz0^2 + 0^2 + (-3)^2 = raiz9 = 3

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
cos theta = -3craiz5 + c^2 times 3 = -3c3raiz5 + c^2 = -craiz5 + c^2

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta = arccos( -craiz5 + c^2 ) , tiramos o arco cosseno de ambos os lados:

Resposta

O ângulo entre as retas theta = arccos( -craiz5 + c^2 ) e é dado por:

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