Seja
uma matriz simétrica
-quadrada pertencendo ao
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma matriz simétrica
de tamanho
, e a gente precisa mostrar que a soma dos quadrados dos elementos dessa matriz, que é representada por
, é sempre maior ou igual a zero. Então, estamos trabalhando com matrizes simétricas e traço de uma matriz, que basicamente é a soma dos elementos da diagonal principal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que os elementos estão “espelhados” em relação à diagonal principal:
para todos
e
.
Passo 3
Agora, o traço de uma matriz,
, é simplesmente a soma dos elementos da diagonal principal. No caso de
, estamos falando da soma dos elementos da diagonal principal da matriz
.
Passo 4
Vamos calcular
. Multiplicar uma matriz por ela mesma envolve somar produtos dos elementos correspondentes. Mas, como
é simétrica, isso simplifica nossos cálculos porque
.
Passo 5
Aí vem uma parte legal: para matrizes simétricas, podemos diagonalizá-las. Isso significa que podemos encontrar uma matriz diagonal
e uma matriz ortogonal
tal que
. Os elementos de
são os autovalores de
.
Passo 6
Sabendo disso, calculamos
como
. O traço de
então é igual ao traço de
, que é a soma dos quadrados dos autovalores de
.
Passo 7
Como os autovalores de uma matriz simétrica são sempre reais, os quadrados desses autovalores serão não negativos. Então, somando números que são
, a gente tem certeza de que
.
Resposta
Portanto, mostramos que para uma matriz simétrica
, a soma dos quadrados dos seus elementos,
, é sempre maior ou igual a zero.