Seja uma matriz simétrica -quadrada pertencendo ao . Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma matriz simétrica de tamanho , e a gente precisa mostrar que a soma dos quadrados dos elementos dessa matriz, que é representada por , é sempre maior ou igual a zero. Então, estamos trabalhando com matrizes simétricas e traço de uma matriz, que basicamente é a soma dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos estão “espelhados” em relação à diagonal principal: para todos e .

Passo 3

Agora, o traço de uma matriz, , é simplesmente a soma dos elementos da diagonal principal. No caso de , estamos falando da soma dos elementos da diagonal principal da matriz .

Passo 4

Vamos calcular . Multiplicar uma matriz por ela mesma envolve somar produtos dos elementos correspondentes. Mas, como é simétrica, isso simplifica nossos cálculos porque .

Passo 5

Aí vem uma parte legal: para matrizes simétricas, podemos diagonalizá-las. Isso significa que podemos encontrar uma matriz diagonal e uma matriz ortogonal tal que . Os elementos de são os autovalores de .

Passo 6

Sabendo disso, calculamos como . O traço de então é igual ao traço de , que é a soma dos quadrados dos autovalores de .

Passo 7

Como os autovalores de uma matriz simétrica são sempre reais, os quadrados desses autovalores serão não negativos. Então, somando números que são , a gente tem certeza de que .

Resposta

Portanto, mostramos que para uma matriz simétrica , a soma dos quadrados dos seus elementos, , é sempre maior ou igual a zero.

Exercícios relacionados

Considere as retas e :
(b) Determinar o ^angulo entre e .
Calcule as integrais:
Você precisa planejar um trajeto para um treino de corrida, seguindo as seguintes condições.
  • O ponto de partida está localizado em , isto é está a 4 km a oeste da origem do sistema de coordenadas.
  • O trajeto segue uma linha reta até um ponto .
  • Depois, o trajeto segue novamente em linha reta, até o checkpoint localizado em .
  • Depois, o trajeto segue uma linha reta de volta ao ponto de partida.
    O trajeto completo deve medir 22 km .
    Qual destas equações representa o conjunto dos pontos que você pode usar para atender todas as condições impostas?
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
Resolva os sistemas a seguir.
(f)