Seja A=(ai j) uma matriz simétrica n-quadrada pertencendo ao Mn(R). Prove que tr(A^2) >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma matriz simétrica de tamanho , e a gente precisa mostrar que a soma dos quadrados dos elementos dessa matriz, que é representada por , é sempre maior ou igual a zero. Então, estamos trabalhando com matrizes simétricas e traço de uma matriz, que basicamente é a soma dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos estão “espelhados” em relação à diagonal principal: para todos e .

Passo 3

Agora, o traço de uma matriz, , é simplesmente a soma dos elementos da diagonal principal. No caso de , estamos falando da soma dos elementos da diagonal principal da matriz .

Passo 4

Vamos calcular . Multiplicar uma matriz por ela mesma envolve somar produtos dos elementos correspondentes. Mas, como é simétrica, isso simplifica nossos cálculos porque .

Passo 5

Aí vem uma parte legal: para matrizes simétricas, podemos diagonalizá-las. Isso significa que podemos encontrar uma matriz diagonal e uma matriz ortogonal tal que . Os elementos de são os autovalores de .

Passo 6

Sabendo disso, calculamos como . O traço de então é igual ao traço de , que é a soma dos quadrados dos autovalores de .

Passo 7

Como os autovalores de uma matriz simétrica são sempre reais, os quadrados desses autovalores serão não negativos. Então, somando números que são , a gente tem certeza de que .

Resposta

Portanto, mostramos que para uma matriz simétrica , a soma dos quadrados dos seus elementos, , é sempre maior ou igual a zero.

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