Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
. Primeiro, vamos entender o que a questão pede. A função que vamos integrar é
sobre a região
, que é um triângulo com vértices nos pontos
,
e
. Vamos precisar saber como configurar os limites de integração para esse triângulo e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração
. O triângulo tem vértices em
,
e
. Isso forma um triângulo retângulo no primeiro quadrante, onde a base está no eixo
de
a
, e a altura no eixo
de
a
.
Passo 3
Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Observando o triângulo:
-
varia de a . - Para cada valor de
, varia de até a linha que liga a . Nesse caso, essa linha é simplesmente para todo .
Então, os limites são:
-
de a -
de a
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
Vamos começar integrando em relação a
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Estude a integrabilidade das funções dadas.
em
.
Considere
definida na região
Calcule o volume do sólido compreendido entre o plano
e o gráfico de
, com
.
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.