Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=y+1 e B o triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaB f(x, y) dx dy. Primeiro, vamos entender o que a questão pede. A função que vamos integrar é f(x, y) = y + 1 sobre a região B, que é um triângulo com vértices nos pontos (0,0), (0,1) e (1,1). Vamos precisar saber como configurar os limites de integração para esse triângulo e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração B. O triângulo tem vértices em (0,0), (0,1) e (1,1). Isso forma um triângulo retângulo no primeiro quadrante, onde a base está no eixo y = 1 de x = 0 a x = 1, e a altura no eixo x = 0 de y = 0 a y = 1.

Passo 3

Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para x e y. Observando o triângulo:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de x, y varia de 0 até a linha que liga (0,1) a (1,1). Nesse caso, essa linha é simplesmente y = 1 para todo x.
Então, os limites são:
  • x de 0 a 1
  • y de 0 a 1

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
integral duplaB (y + 1) , dx , dy = integralx=0^1 integraly=0^1 (y + 1) , dy , dx
Vamos começar integrando em relação a y.

Passo 5

Integrando f(x, y) = y + 1 em relação a y:
integral0^1 (y + 1) , dy = integral0^1 y , dy + integral0^1 1 , dy = [y^22]0^1 + [y]0^1 = 12 + 1 = 32

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a x:
integral0^1 32 , dx = 32 integral0^1 dx = 32 [x]0^1 = 32 (1 - 0) = 32

Resposta

O valor da integral é 32.

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