Considere
definida na região
Calcule o volume do sólido compreendido entre o plano
e o gráfico de
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos a função
definida na região
onde
e
. O objetivo é calcular o volume do sólido que fica entre o plano
e o gráfico dessa função sobre a região
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume que queremos encontrar pode ser calculado usando uma integral dupla sobre a região
. A fórmula geral para o volume
é:
Onde
representa um elemento de área na região
.
Passo 3
Como a função
não depende de
, a integral em
vai ser mais simples. A região
é definida por
variando de 0 a
para cada
entre 0 e
. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Como
é constante em relação a
, a integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples.
Passo 6
Vamos fazer a substituição
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Passo 8
Agora, calculamos a integral de
:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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. Faça um esboço da região de integração.
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e
.
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.
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Calcule o volume dos sólidos dados.