Considere f(x, y) = cos(x^2) definida na região
R: 0 <= x <= raiz(pi / 2), 0 <= y <= x
Calcule o volume do sólido compreendido entre o plano z = 0 e o gráfico de f(x, y), com (x, y) in R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos a função definida na região onde e . O objetivo é calcular o volume do sólido que fica entre o plano e o gráfico dessa função sobre a região . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume que queremos encontrar pode ser calculado usando uma integral dupla sobre a região . A fórmula geral para o volume é:
Onde representa um elemento de área na região .

Passo 3

Como a função não depende de , a integral em vai ser mais simples. A região é definida por variando de 0 a para cada entre 0 e . Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Como é constante em relação a , a integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples.

Passo 6

Vamos fazer a substituição . Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 7

Substituindo na integral, temos:

Passo 8

Agora, calculamos a integral de :
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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