Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração. integral1^e[integralln (y)^y f(x, y) d x] d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a região de integração de uma integral dupla e depois calcular a área dessa região. Isso tudo está dentro do campo de cálculo, mais especificamente em integrais iteradas. Para isso, vamos precisar entender como a região está definida inicialmente e então trocar a ordem das integrais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração que a gente tem. A integral dada é:
integral1^e[integralln (y)^y f(x, y) , dx] dy
Aqui, varia de 1 até , e para cada valor de , varia de até . Vamos desenhar isso para visualizar melhor.

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico das funções que definem os limites de :
Sabemos que é a função logarítmica, que só está definida para , e é um valor específico onde . A reta é uma bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Passo 4

Agora, vamos determinar os pontos de interseção dessas duas funções para saber os limites de integração ao invertermos:
ln(y) = y
Resolvendo essa equação, vemos que ocorre quando , pois e . Então, nosso intervalo para vai de 1 até .

Passo 5

Para inverter a ordem da integração, precisamos expressar y = e^x em termos de . A partir de , resolvemos para :
Então, para cada , varia de até . Além disso, varia de 0 até 1, já que e vai até .

Passo 6

Agora, a integral com a ordem invertida fica:
integral0^1[integralx^e^x f(x, y) , dy] dx
Isso inverte a ordem das integrais, facilitando o cálculo dependendo da função .

Passo 7

Para calcular a área da região de integração, consideramos que Área = integral0^1[integralx^e^x 1 , dy] dx , já que a área é a integral dupla de 1 sobre a região. Então, temos:
Á

Passo 8

Calculando a integral interna primeiro:
integralx^e^x 1 , dy = e^x - x
Agora, a integral externa fica:
Área = integral0^1 (e^x - x) , dx Á

Passo 9

Vamos resolver essa integral:
integral0^1 e^x , dx - integral0^1 x , dx = [ e^x ]0^1 - [ x^22 ]0^1 = (e - 1) - ( 12 - 0 ) = e - 1 - 12 = e - 32

Resposta

A área da região de integração é .

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integral0^1[integral1^e^y f(x, y) d x] d y+integral1^e[integraly^e f(x, y) d x] d y
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.