Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a região de integração de uma integral dupla e depois calcular a área dessa região. Isso tudo está dentro do campo de cálculo, mais especificamente em integrais iteradas. Para isso, vamos precisar entender como a região está definida inicialmente e então trocar a ordem das integrais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração que a gente tem. A integral dada é:
Aqui,
varia de 1 até
, e para cada valor de
,
varia de
até
. Vamos desenhar isso para visualizar melhor.
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico das funções que definem os limites de
:
Sabemos que
é a função logarítmica, que só está definida para
, e
é um valor específico onde
. A reta
é uma bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.
Passo 4
Agora, vamos determinar os pontos de interseção dessas duas funções para saber os limites de integração ao invertermos:
Resolvendo essa equação, vemos que ocorre quando
, pois
e
. Então, nosso intervalo para
vai de 1 até
.
Passo 5
Para inverter a ordem da integração, precisamos expressar
em termos de
. A partir de
, resolvemos para
:
Então, para cada
,
varia de
até
. Além disso,
varia de 0 até 1, já que
e
vai até
.
Passo 6
Agora, a integral com a ordem invertida fica:
Isso inverte a ordem das integrais, facilitando o cálculo dependendo da função
.
Passo 7
Para calcular a área da região de integração, consideramos que
, já que a área é a integral dupla de 1 sobre a região. Então, temos:
Passo 8
Calculando a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa fica:
Passo 9
Vamos resolver essa integral:
Resposta
A área da região de integração é
.