Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla
, onde a função
. A região de integração
é definida por
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que nos permite calcular o volume abaixo da superfície da função
sobre a região
. Precisamos entender bem os limites de integração e possivelmente fazer um esboço da região para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração
. Temos
e
.
- A curva
é uma parábola que abre para a direita. - A linha
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°.
Quando
varia de 0 a 1:
- Em
, varia de a . - Em
, varia de a .
Portanto, a região
está entre a parábola
e a reta
para
entre 0 e 1. Essa região se parece com uma “lente” estreita entre a parábola e a reta, indo de
até
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a
, podemos escrever a integral como:
Aqui, estamos primeiro integrando em relação a
de
a
, e depois em relação a
de 0 a 1.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna
.
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples:
- Seja
, então ou .
Assim, a integral se torna:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 5
Agora, precisamos integrar a expressão resultante em relação a
:
Vamos resolver cada integral separadamente:
-
Então,
-
Aqui, usamos integração por partes:
- Seja
, então - Seja
, então
Aplicando integração por partes:Avaliando de 0 a 1: - Seja
Portanto, a integral total fica:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Considere
definida na região
Calcule a área da região
.
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.