Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=e^xy e B: y^2 <= x <= y e 0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla , onde a função . A região de integração é definida por e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que nos permite calcular o volume abaixo da superfície da função sobre a região . Precisamos entender bem os limites de integração e possivelmente fazer um esboço da região para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração . Temos e .
  • A curva é uma parábola que abre para a direita.
  • A linha é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°.
Quando varia de 0 a 1:
  • Em , varia de a .
  • Em , varia de a .
Portanto, a região está entre a parábola e a reta para entre 0 e 1. Essa região se parece com uma “lente” estreita entre a parábola e a reta, indo de até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como integral0^1 integraly^2^y e^xy , dx , dy varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a , podemos escrever a integral como:
Aqui, estamos primeiro integrando em relação a de a , e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna integral e^u cdot y , du = y e^u + C = y e^xy + C .
Para integrar y e^yy - y e^y^2y = y e^1 - y e^y = y e - y e^y em relação a , fazemos uma substituição simples:
  • Seja , então ou .
Assim, a integral se torna:
Agora, avaliamos de a :

Passo 5

Agora, precisamos integrar a expressão resultante em relação a integral0^1 (y e - y e^y) , dy = e integral0^1 y , dy - integral0^1 y e^y , dy :
uv - integral v , du = y e^y - integral e^y , dy = y e^y - e^y + C
Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1
    Então, e2 - 1
  2. Aqui, usamos integração por partes:
    • Seja , então
    • Seja , então
    Aplicando integração por partes:
    Avaliando de 0 a 1:
Portanto, a integral total fica:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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R: 0 <= x <= raiz(pi / 2), 0 <= y <= x
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Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração. integral-1^1[integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 f(x, y) d y] d x