Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração. $\int_{-1}^{1}\left[\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x$

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla que representa a área de uma região no plano XY. O enunciado pede para inverter a ordem de integração e, depois, calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais iteradas e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região de integração definida pelos limites da integral original:
Aqui, varia de a , e para cada , varia de a .

Passo 3

Essa descrição dos limites de em termos de sugere que estamos lidando com um círculo. De fato, a equação representa a parte superior e inferior de um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de integração em termos de primeiro e depois de . Observando o círculo, para cada fixo, varia de a , e varia de a .
Então, a integral com a ordem invertida fica:

Passo 5

Para calcular a área da região de integração, podemos considerar que , já que a área é a integral dupla de 1 sobre a região. Portanto, temos:
Á
Calculando a integral interna:
Agora, a integral externa fica:
Á
Essa integral representa a área de um círculo de raio 1, que sabemos ser .

Resposta

A área da região de integração é .

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<html><head></head><body><div>Considere <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“17.189ex” height=“2.713ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -849.5 7597.4 1199”><title>f(x, y) = cos(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” 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translate(0 -0.5)”><path data-c=“29” d=“M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> definida na região</div>
<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -1.978ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“27.23ex” height=“5.566ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1585.8 12035.4 2460”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D445” d=“M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 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<div>Calcule a área da região <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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</body></html>
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e e .
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