Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla que representa a área de uma região no plano XY. O enunciado pede para inverter a ordem de integração e, depois, calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais iteradas e mudança de ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região de integração definida pelos limites da integral original:
Aqui,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 3
Essa descrição dos limites de
em termos de
sugere que estamos lidando com um círculo. De fato, a equação
representa a parte superior e inferior de um círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de integração em termos de
primeiro e depois de
. Observando o círculo, para cada
fixo,
varia de
a
, e
varia de
a
.
Então, a integral com a ordem invertida fica:
Passo 5
Para calcular a área da região de integração, podemos considerar que
, já que a área é a integral dupla de 1 sobre a região. Portanto, temos:
Calculando a integral interna:
Agora, a integral externa fica:
Essa integral representa a área de um círculo de raio 1, que sabemos ser
.
Resposta
A área da região de integração é
.