Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração. integral-1^1[integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 f(x, y) d y] d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla que representa a área de uma região no plano XY. O enunciado pede para inverter a ordem de integração e, depois, calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais iteradas e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região de integração definida pelos limites da integral original:
integral-1^1[integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 f(x, y) , dy] dx
Aqui, varia de a , e para cada , varia de a .

Passo 3

Essa descrição dos limites de em termos de sugere que estamos lidando com um círculo. De fato, a equação representa a parte superior e inferior de um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de integração em termos de integral-1^1[integral-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 f(x, y) , dx] dy primeiro e depois de . Observando o círculo, para cada fixo, varia de a , e varia de a .
Então, a integral com a ordem invertida fica:

Passo 5

Para calcular a área da região de integração, podemos considerar que Área = integral-1^1[integral-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 1 , dx] dy , já que a área é a integral dupla de 1 sobre a região. Portanto, temos:
integral-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 1 , dx = 2raiz1 - y^2 Á
Calculando a integral interna:
Área = integral-1^1 2raiz1 - y^2 , dy
Agora, a integral externa fica:
Á
Essa integral representa a área de um círculo de raio 1, que sabemos ser .

Resposta

A área da região de integração é .

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