Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde
e a região de integração
é o retângulo
. Isso significa que
varia de 0 a 2 e
varia de 1 a 2. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular, e também vamos fazer um esboço dessa região para visualizar melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração
. Como
, isso significa que no eixo
, os valores vão de 0 a 2, e no eixo
, vão de 1 a 2. Então, nosso retângulo tem os seguintes cantos:
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como estamos integrando sobre um retângulo, podemos escrever:
Aqui, primeiro integramos em relação a
mantendo
fixo, e depois integramos o resultado em relação a
.
Passo 4
Vamos começar integrando a função
em relação a
. Integramos termo a termo:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais:
Avaliando entre 1 e 2:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos que integrar o resultado
em relação a
de 0 a 2:
Calculando cada integral:
-
, avaliado de 0 a 2: -
, avaliado de 0 a 2:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Estude a integrabilidade das funções dadas.
em
.
Mostre que a transformação
, transforma a elipse
no círculo unitário centro na origem.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.