Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=2 x y-y^3 e B=[0,2] times[1,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y) = 2xy - y^3 e a região de integração B é o retângulo [0,2] times [1,2]. Isso significa que x varia de 0 a 2 e y varia de 1 a 2. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular, e também vamos fazer um esboço dessa região para visualizar melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração B. Como B = [0,2] times [1,2], isso significa que no eixo x, os valores vão de 0 a 2, e no eixo y, vão de 1 a 2. Então, nosso retângulo tem os seguintes cantos: (0,1), (2,1), (0,2) e (2,2).

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como estamos integrando sobre um retângulo, podemos escrever:
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integralx=0^2 integraly=1^2 (2xy - y^3) , dy , dx
Aqui, primeiro integramos em relação a y mantendo x fixo, e depois integramos o resultado em relação a x.

Passo 4

Vamos começar integrando a função f(x, y) = 2xy - y^3 em relação a y. Integramos termo a termo:
integraly=1^2 (2xy - y^3) , dy = 2x integral1^2 y , dy - integral1^2 y^3 , dy
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. integral y , dy = 12 y^2
  2. integral y^3 , dy = 14 y^4
Avaliando entre 1 e 2:
2x [ 12 (2)^2 - 12 (1)^2 ] - [ 14 (2)^4 - 14 (1)^4 ]
Simplificando:
2x [ 12 times 4 - 12 times 1 ] - [ 14 times 16 - 14 times 1 ] = 2x [ 2 - 0.5 ] - [ 4 - 0.25 ] = 2x times 1.5 - 3.75 = 3x - 3.75

Passo 5

Agora, temos que integrar o resultado 3x - 3.75 em relação a x de 0 a 2:
integral0^2 (3x - 3.75) , dx = 3 integral0^2 x , dx - 3.75 integral0^2 1 , dx
Calculando cada integral:
  1. integral x , dx = 12 x^2, avaliado de 0 a 2: 12 times 4 - 12 times 0 = 2
  2. integral 1 , dx = x, avaliado de 0 a 2: 2 - 0 = 2
Substituindo:
3 times 2 - 3.75 times 2 = 6 - 7.5 = -1.5

Resposta

O valor da integral dupla é -1.5.

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