Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde e a região é o retângulo . Isso envolve conhecer um pouco de cálculo integral, especificamente como calcular integrais duplas sobre regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é definida como , o que significa que varia de 0 a e varia de 0 a . Vamos esboçar isso:
No eixo , marca de 0 a .
No eixo , marca de 0 a .
A região é um retângulo cujos cantos são , , e .
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como a região é retangular, podemos escrever a integral como uma integral iterada. Podemos escolher a ordem de integração, mas vamos integrar primeiro em e depois em :
Passo 4
Observamos que não depende de , então podemos tirá-la de dentro da integral em :
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral . Sabemos que:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 0 a integral0^12 11 - x^2 , dx = 12 ln(1 + 121 - 12) - 12 ln(1 + 01 - 0) = 12 ln(3212) = 12 ln(3) :
Passo 7
Voltando à integral original:
Passo 8
Para resolver , usamos a identidade trigonométrica: