Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=sen^2(y)1-x^2 e B=[0, 12] times[0, pi2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde e a região é o retângulo . Isso envolve conhecer um pouco de cálculo integral, especificamente como calcular integrais duplas sobre regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é definida como , o que significa que varia de 0 a e varia de 0 a . Vamos esboçar isso:
  • No eixo , marca de 0 a .
  • No eixo , marca de 0 a .
  • A região é um retângulo cujos cantos são , , e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como a região integral duplaB sen^2(y)1 - x^2 , dx , dy = integral0^pi2 ( integral0^12 sen^2(y)1 - x^2 , dx ) dy é retangular, podemos escrever a integral como uma integral iterada. Podemos escolher a ordem de integração, mas vamos integrar primeiro em e depois em :

Passo 4

Observamos que não depende de integral0^12 sen^2(y)1 - x^2 , dx = sen^2(y) integral0^12 11 - x^2 , dx , então podemos tirá-la de dentro da integral em :

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral 11 - x^2 = 12 ( 11 - x + 11 + x ) . Sabemos que:
integral 11 - x^2 , dx = 12 ln|1 + x1 - x| + C
Integrando termo a termo:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a integral0^12 11 - x^2 , dx = 12 ln(1 + 121 - 12) - 12 ln(1 + 01 - 0) = 12 ln(3212) = 12 ln(3) :

Passo 7

Voltando à integral original:

Passo 8

Para resolver , usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:

Resposta

Substituindo de volta:
ln(3)2 cdot pi4 = pi ln(3)8
Portanto, o valor da integral dupla é .

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