Considere f(x, y) = cos(x^2) definida na região
R: 0 <= x <= raiz(pi / 2), 0 <= y <= x
Calcule a área da região R.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área da região definida por:
Esse problema está relacionado ao cálculo de áreas usando integrais duplas, um tópico de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular uma integral dupla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela está limitada por variando de 0 até e, para cada valor de , varia de 0 até . Isso significa que a região é um triângulo retângulo no primeiro quadrante.

Passo 3

Para encontrar a área da região , usamos a integral dupla de 1 sobre essa região. A fórmula geral para a área é:
Neste caso, , , e .

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla para a área:
Primeiro, integramos em relação a .

Passo 5

Integrando em relação a , temos:
Agora, substituímos de volta na integral principal.

Passo 6

A integral agora fica:
Vamos integrar isso em relação a .

Passo 7

Integrando em relação a , obtemos:
Aplicamos os limites de integração agora.

Passo 8

Calculando de 0 até :

Resposta

A área da região é .

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