Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
é o quadrilátero de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! Temos que calcular a integral dupla
, onde
. A região
é um quadrado com vértices em
,
,
e
. Vamos usar cálculo integral em duas variáveis, e para isso, precisamos entender os limites de integração sobre essa região quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela é um quadrado no plano xy, com lados de 0 a 1 em ambas as direções. Isso significa que
varia de 0 a 1 e, para cada valor de
,
também varia de 0 a 1. Não há complicações nos limites, então podemos configurar a integral assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Vamos considerar
como uma constante nessa etapa. A integral interna é:
Para simplificar, fazemos uma substituição: deixe
, então
, ou seja,
. Quando
,
, e quando
,
. Ajustando os limites, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral
. Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Agora, temos outra integral para resolver:
. Vamos aplicar integração por partes novamente, desta vez com:
-
⇒ -
⇒
Então:
Voltando à integral original:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de
nos limites
e
:
Substituindo:
Passo 6
Agora, temos que integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Isso pode ser computado numericamente ou, se desejado, usando técnicas avançadas de integração, mas geralmente, para resolver esse tipo de integral, recomendamos o uso de uma calculadora ou software de matemática.
Resposta
A integral dupla
resulta em uma expressão que pode ser avaliada numericamente, conforme detalhado nos passos acima.