Considere as integrais iteradas
integrale^-1^1(integral0^1+ln (x) f(x, y) d y) d x e integral1^e(integralln (x)^1 f(x, y) d y) d x
onde f(x, y) é contínua em R^2. Calcule a área da união das regiões de integração das integrais iteradas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos deu duas integrais iteradas e pediu pra gente calcular a área da união das regiões onde essas integrais estão sendo aplicadas. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas e geometria das regiões de integração. Para resolver, vamos precisar entender como plotar essas integrais no plano xy e identificar onde elas se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira integral:
integrale^-1^1(integral0^1+ln (x) f(x, y) , dy) dx
Aqui, x varia de a 1, e para cada x, y varia de 0 a . Isso define uma região no plano onde x está entre e 1, e y está entre 0 e .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda integral:
integral1^e(integralln (x)^1 f(x, y) , dy) dx
Nessa, x varia de 1 a e, e para cada x, y varia de a 1. Então, essa é outra região no plano, com x entre 1 e e, e y entre e 1.

Passo 4

Para encontrar a área da união dessas duas regiões, precisamos visualizar ou desenhar essas áreas no plano xy. Vamos identificar os limites de x e y para cada região:
  • Primeira região:
  • Segunda região:

Passo 5

Vamos dividir a união das regiões em partes que não se sobrepõem:
  1. Primeira região: de a 1 em x, e de 0 a em y.
  2. Segunda região: de 1 a e em x, e de a 1 em y.
Como as regiões só se tocam em x=1 e não se sobrepõem, a área total é a soma das áreas das duas regiões separadamente.

Passo 6

Calculando a área da primeira região:
A1 = integrale^-1^1 (1 + ln(x) - 0) dx = integrale^-1^1 (1 + ln(x)) , dx
Integrando:
A1 = [ x + x ln(x) - x ]e^-1^1 = [ x ln(x) ]e^-1^1
Avaliado:
A1 = (1 cdot ln(1)) - (e^-1 cdot ln(e^-1)) = 0 - (e^-1 cdot (-1)) = 1e

Passo 7

Calculando a área da segunda região:
A2 = integral1^e (1 - ln(x)) dx
Integrando:
A2 = [ x - x ln(x) + x ]1^e = [2x - x ln(x)]1^e
Avaliado:
A2 = (2e - e cdot 1) - (2(1) - 1 cdot 0) = (2e - e) - (2 - 0) = e - 2

Resposta

A área da união das regiões de integração é .

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