Considere as integrais iteradas
onde
é contínua em
. Calcule a área da união das regiões de integração das integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos deu duas integrais iteradas e pediu pra gente calcular a área da união das regiões onde essas integrais estão sendo aplicadas. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas e geometria das regiões de integração. Para resolver, vamos precisar entender como plotar essas integrais no plano xy e identificar onde elas se sobrepõem.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira integral:
Aqui, x varia de
a 1, e para cada x, y varia de 0 a
. Isso define uma região no plano onde x está entre
e 1, e y está entre 0 e
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda integral:
Nessa, x varia de 1 a e, e para cada x, y varia de
a 1. Então, essa é outra região no plano, com x entre 1 e e, e y entre
e 1.
Passo 4
Para encontrar a área da união dessas duas regiões, precisamos visualizar ou desenhar essas áreas no plano xy. Vamos identificar os limites de x e y para cada região:
-
Primeira região:
-
-
Segunda região:
-
Passo 5
Vamos dividir a união das regiões em partes que não se sobrepõem:
- Primeira região: de
a 1 em x, e de 0 a em y. - Segunda região: de 1 a e em x, e de
a 1 em y.
Como as regiões só se tocam em x=1 e não se sobrepõem, a área total é a soma das áreas das duas regiões separadamente.
Passo 6
Calculando a área da primeira região:
Integrando:
Avaliado:
Passo 7
Calculando a área da segunda região:
Integrando:
Avaliado:
Resposta
A área da união das regiões de integração é
.