Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível (se aplicável) e o gráfico da função dada:
Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, especialmente propriedades do logaritmo e geometria analítica para entender melhor o comportamento dessa função.
Passo 2
Encontrando o Domínio da Função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares
) para os quais a função está definida. Como a nossa função envolve o logaritmo natural, precisamos lembrar que o argumento do logaritmo deve ser maior que zero. Ou seja:
Vamos resolver essa desigualdade:
Esta é a equação de um círculo com raio
(já que
) e centro na origem
. Portanto, o domínio da função
consiste em todos os pontos
que estão dentro desse círculo.
Passo 3
Determinação da Imagem da Função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída (valores de
).
Sabemos que:
Como
é positivo (já que estamos dentro do domínio), vamos ver os limites:
-
O máximo valor de
ocorre no centro do círculo ( , ): Logo: -
O mínimo valor de
aproxima-se de quando se aproxima da fronteira do círculo.
Portanto, a imagem de
é:
Passo 4
Determinação das Curvas de Nível
As curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
. Vamos encontrar essas curvas para nossa função:
Resolvendo para
e
:
-
Exponenciando ambos os lados:
-
Reorganizando:
Essa é a equação de um círculo com raio
e centro na origem. Para que o raio seja real, precisamos que:
Então, para cada valor de
, temos uma curva de nível que é um círculo de raio
.
Passo 5
Representação Gráfica da Função
Para visualizar o gráfico da função
, podemos utilizar o GeoGebra, uma ferramenta online gratuita que permite criar gráficos de funções de duas variáveis de forma interativa.
No GeoGebra, basta inserir a função na forma apropriada e ajustar as configurações de visualização para observar como a superfície se comporta dentro do domínio definido (o interior do círculo de raio 3). O gráfico mostrará uma espécie de “monte” que se eleva até o ponto mais alto em
e desce em direção às bordas do domínio.
Resposta
-
Domínio: Todos os pontos
dentro do círculo de raio centrado na origem, ou seja, . -
Imagem: Todos os valores reais menores que
, ou seja, . -
Curvas de Nível: Para cada constante
, a curva de nível é um círculo com raio centrado na origem. -
Gráfico: Uma superfície que representa a função
, visualizada no GeoGebra, mostrando um pico no centro e decrescendo em direção às bordas do domínio.