Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível (se aplicável) e o gráfico da função dada:
Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, especialmente propriedades do logaritmo e geometria analítica para entender melhor o comportamento dessa função.
Passo 2
Encontrando o Domínio da Função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares
) para os quais a função está definida. Como a nossa função envolve o logaritmo natural, precisamos lembrar que o argumento do logaritmo deve ser maior que zero. Ou seja:
Vamos resolver essa desigualdade:
Esta é a equação de um círculo com raio
(já que
) e centro na origem
. Portanto, o domínio da função
consiste em todos os pontos
que estão dentro desse círculo.
Passo 3
Determinação da Imagem da Função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída (valores de
).
Sabemos que:
Como
é positivo (já que estamos dentro do domínio), vamos ver os limites:
-
O máximo valor de
ocorre no centro do círculo ( , ): Logo: -
O mínimo valor de
aproxima-se de quando se aproxima da fronteira do círculo.
Portanto, a imagem de
é:
Passo 4
Determinação das Curvas de Nível
As curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
. Vamos encontrar essas curvas para nossa função:
Resolvendo para
e
:
-
Exponenciando ambos os lados:
-
Reorganizando:
Essa é a equação de um círculo com raio
e centro na origem. Para que o raio seja real, precisamos que:
Então, para cada valor de
, temos uma curva de nível que é um círculo de raio
.
Passo 5
Representação Gráfica da Função
Para visualizar o gráfico da função
, podemos utilizar o GeoGebra, uma ferramenta online gratuita que permite criar gráficos de funções de duas variáveis de forma interativa.
No GeoGebra, basta inserir a função na forma apropriada e ajustar as configurações de visualização para observar como a superfície se comporta dentro do domínio definido (o interior do círculo de raio 3). O gráfico mostrará uma espécie de “monte” que se eleva até o ponto mais alto em
e desce em direção às bordas do domínio.
Resposta
-
Domínio: Todos os pontos
dentro do círculo de raio centrado na origem, ou seja, . -
Imagem: Todos os valores reais menores que
, ou seja, . -
Curvas de Nível: Para cada constante
, a curva de nível é um círculo com raio centrado na origem. -
Gráfico: Uma superfície que representa a função
, visualizada no GeoGebra, mostrando um pico no centro e decrescendo em direção às bordas do domínio.
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. Faça um esboço da região de integração.
e
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e
.
<html><head></head><body><div>Considere as integrais iteradas</div>
<div><span class=“math-block “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -2.827ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“52.146ex” height=“6.785ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1749.5 23048.5 2999”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msubsup”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 1)”><path data-c=“222B” d=“M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“2.621ex” height=“1.887ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 1158.6 833.9”><title>f(x, y)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“211D” d=“M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z”></path></g></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(755,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>. Calcule a área da união das regiões de integração das integrais iteradas.</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“16.574ex” height=“2.452ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 7325.8 1083.9”><title>f(x, y) = x^2 - y^2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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<html><head></head><body><div>Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.654ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“17.198ex” height=“3.611ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864.9 7601.5 1595.9”><title>f(x, y) = 1 / raiz(4 x^2 + y^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 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