Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. f(x, y) = ln(9 - x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível (se aplicável) e o gráfico da função dada:
Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, especialmente propriedades do logaritmo e geometria analítica para entender melhor o comportamento dessa função.

Passo 2

Encontrando o Domínio da Função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares ) para os quais a função está definida. Como a nossa função envolve o logaritmo natural, precisamos lembrar que o argumento do logaritmo deve ser maior que zero. Ou seja:
Vamos resolver essa desigualdade:
Esta é a equação de um círculo com raio (já que ) e centro na origem . Portanto, o domínio da função consiste em todos os pontos que estão dentro desse círculo.

Passo 3

Determinação da Imagem da Função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída (valores de ).
Sabemos que:
Como é positivo (já que estamos dentro do domínio), vamos ver os limites:
  • O máximo valor de ocorre no centro do círculo ( , ):
    Logo:
  • O mínimo valor de aproxima-se de quando se aproxima da fronteira do círculo.
Portanto, a imagem de é:

Passo 4

Determinação das Curvas de Nível
As curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Vamos encontrar essas curvas para nossa função:
Resolvendo para e :
  1. Exponenciando ambos os lados:
  2. Reorganizando:
Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem. Para que o raio seja real, precisamos que:
Então, para cada valor de , temos uma curva de nível que é um círculo de raio .

Passo 5

Representação Gráfica da Função
Para visualizar o gráfico da função , podemos utilizar o GeoGebra, uma ferramenta online gratuita que permite criar gráficos de funções de duas variáveis de forma interativa.
No GeoGebra, basta inserir a função na forma apropriada e ajustar as configurações de visualização para observar como a superfície se comporta dentro do domínio definido (o interior do círculo de raio 3). O gráfico mostrará uma espécie de “monte” que se eleva até o ponto mais alto em e desce em direção às bordas do domínio.

Resposta

  • Domínio: Todos os pontos dentro do círculo de raio centrado na origem, ou seja, .
  • Imagem: Todos os valores reais menores que , ou seja, .
  • Curvas de Nível: Para cada constante , a curva de nível é um círculo com raio centrado na origem.
  • Gráfico: Uma superfície que representa a função , visualizada no GeoGebra, mostrando um pico no centro e decrescendo em direção às bordas do domínio.

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