Calcule o volume dos sólidos dados. S = {(x, y, z): 1 <= x <= 2, 0 <= y <= 1, 0 <= x + y - z <= x + y + 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido definido pelo conjunto de pontos . Isso significa que estamos lidando com geometria espacial e vamos usar integrais múltiplas para encontrar esse volume. Precisaremos entender os limites de integração para , e com base nas desigualdades dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites para cada variável:
  • Para , está claro: .
  • Para , também está direto: .
  • Para , precisamos resolver a desigualdade .
Vamos reescrever a desigualdade de :
Isso pode ser separado em duas partes:
Então, os limites para são: .

Passo 3

Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Agora, a integral é:

Passo 6

Por fim, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Resposta

O volume do sólido é igual a 3 unidades cúbicas.

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