Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Passo 1
Beleza, primeiro vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico dessa função. Vamos precisar usar conceitos de funções de duas variáveis e um pouco de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar pelo domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida. Olhando para
, percebemos que não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, o domínio é todo o plano
, ou seja, todos os pares de números reais
.
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como
e
são sempre maiores ou iguais a zero, mas
pode ser positivo, negativo ou zero, a imagem também abrange todos os números reais
.
Passo 4
Vamos falar das curvas de nível. Essas são as curvas no plano
onde a função assume valores constantes. Ou seja, fixamos
, onde
é uma constante, e resolvemos para
:
Esse é o formato de uma hipérbole. Dependendo do valor de
, teremos diferentes hipérboles:
- Se
, a hipérbole abre nas direções . - Se
, a hipérbole abre nas direções . - Se
, temos as linhas , que são as assíntotas.
Passo 5
Por fim, precisamos descrever o gráfico da função
. Esse gráfico é uma superfície chamada paraboloide hiperbólico. Ele tem a forma de uma sela porque se abre ao longo do eixo
e se fecha ao longo do eixo
. Para visualizar melhor, você pode usar o GeoGebra como sugerido, inserindo a função para ver essa forma.
Resposta
- Domínio: Todo o plano
. - Imagem: Todos os números reais
. - Curvas de Nível: Hipérboles das formas
, com real. - Gráfico: Um paraboloide hiperbólico, semelhante a uma sela, que pode ser representado no GeoGebra.