Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. f(x, y) = x^2 - y^2

Passo 1

Beleza, primeiro vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico dessa função. Vamos precisar usar conceitos de funções de duas variáveis e um pouco de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar pelo domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida. Olhando para , percebemos que não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, o domínio é todo o plano , ou seja, todos os pares de números reais .

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como e são sempre maiores ou iguais a zero, mas pode ser positivo, negativo ou zero, a imagem também abrange todos os números reais .

Passo 4

Vamos falar das curvas de nível. Essas são as curvas no plano onde a função assume valores constantes. Ou seja, fixamos , onde é uma constante, e resolvemos para :
Esse é o formato de uma hipérbole. Dependendo do valor de , teremos diferentes hipérboles:
  • Se , a hipérbole abre nas direções .
  • Se , a hipérbole abre nas direções .
  • Se , temos as linhas , que são as assíntotas.

Passo 5

Por fim, precisamos descrever o gráfico da função . Esse gráfico é uma superfície chamada paraboloide hiperbólico. Ele tem a forma de uma sela porque se abre ao longo do eixo e se fecha ao longo do eixo . Para visualizar melhor, você pode usar o GeoGebra como sugerido, inserindo a função para ver essa forma.

Resposta

  • Domínio: Todo o plano .
  • Imagem: Todos os números reais .
  • Curvas de Nível: Hipérboles das formas , com real.
  • Gráfico: Um paraboloide hiperbólico, semelhante a uma sela, que pode ser representado no GeoGebra.

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