Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=y-x e B é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy. O enunciado nos diz que f(x, y) = y - x e que a região de integração B é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1. Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas na matéria de Cálculo. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para um semicírculo e como integrar uma função em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração B. Como é um semicírculo superior de raio 1 centrado na origem, ele é definido por x^2 + y^2 <= 1 e y >= 0. Para esboçar essa região, imagine um círculo de raio 1 no plano xy, mas só a parte de cima, onde y é positivo.

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites de integração. Em coordenadas cartesianas, para cada valor de x entre -1 e 1, y varia de 0 até raiz1 - x^2. Então, a integral dupla fica:
integralx=-1^1 integraly=0^raiz1 - x^2 (y - x) , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar (y - x) em relação a y, mantendo x constante:
integral0^raiz1 - x^2 (y - x) , dy = [ y^22 - x y ]0^raiz1 - x^2
Substituindo os limites:
(raiz1 - x^2)^22 - x (raiz1 - x^2) - (0 - 0) = 1 - x^22 - x raiz1 - x^2

Passo 5

Agora, temos que integrar o resultado obtido em relação a x de -1 a 1:
integral-1^1 ( 1 - x^22 - x raiz1 - x^2 ) dx
Vamos dividir essa integral em duas partes:
12 integral-1^1 (1 - x^2) , dx - integral-1^1 x raiz1 - x^2 , dx

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral 12 integral-1^1 (1 - x^2) , dx:
12 [ x - x^33 ]-1^1 = 12 [ (1 - 13) - (-1 - -13) ] = 12 ( 23 - (-23) ) = 12 cdot 43 = 23

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral integral-1^1 x raiz1 - x^2 , dx. Observando a função, percebemos que ela é ímpar, ou seja, f(-x) = -f(x). Como estamos integrando de -1 a 1, a integral de uma função ímpar nesse intervalo é zero:
integral-1^1 x raiz1 - x^2 , dx = 0

Passo 8

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
23 - 0 = 23

Resposta

O valor da integral dupla é 23.

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