Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla . O enunciado nos diz que e que a região de integração é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1. Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas na matéria de Cálculo. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para um semicírculo e como integrar uma função em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Como é um semicírculo superior de raio 1 centrado na origem, ele é definido por e . Para esboçar essa região, imagine um círculo de raio 1 no plano xy, mas só a parte de cima, onde é positivo.

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites de integração. Em coordenadas cartesianas, para cada valor de entre e , varia de até . Então, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a , mantendo constante:
Substituindo os limites:

Passo 5

Agora, temos que integrar o resultado obtido em relação a de a :
Vamos dividir essa integral em duas partes:

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral :

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral . Observando a função, percebemos que ela é ímpar, ou seja, . Como estamos integrando de a , a integral de uma função ímpar nesse intervalo é zero:

Passo 8

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
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Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
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