Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
. O enunciado nos diz que
e que a região de integração
é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1. Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas na matéria de Cálculo. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para um semicírculo e como integrar uma função em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Como é um semicírculo superior de raio 1 centrado na origem, ele é definido por
e
. Para esboçar essa região, imagine um círculo de raio 1 no plano xy, mas só a parte de cima, onde
é positivo.
Passo 3
Agora, vamos configurar os limites de integração. Em coordenadas cartesianas, para cada valor de
entre
e
,
varia de
até
. Então, a integral dupla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar
em relação a
, mantendo
constante:
Substituindo os limites:
Passo 5
Agora, temos que integrar o resultado obtido em relação a
de
a
:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral
:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral
. Observando a função, percebemos que ela é ímpar, ou seja,
. Como estamos integrando de
a
, a integral de uma função ímpar nesse intervalo é zero:
Passo 8
Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Estude a integrabilidade das funções dadas.
em
.
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Calcule o volume dos sólidos dados.
e