Calcule o volume dos sólidos dados. e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido definido pelas condições e . A gente vai usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, para encontrar esse volume. Vamos precisar entender como essas superfícies se interceptam e definir os limites de integração direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as equações. A equação representa um cilindro circular com raio 3, alinhado ao eixo y. Isso significa que, para qualquer valor de y, a seção transversal no plano xz é um círculo com raio 3.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as desigualdades . Essas representam duas planos: e . Esses planos vão cortar o cilindro, e o sólido que queremos é a região dentro do cilindro que está entre esses dois planos.

Passo 4

Para configurar a integral tripla, vamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em y, depois em x e finalmente em z. Mas antes disso, precisamos determinar os limites de integração para cada variável.

Passo 5

Como o cilindro é definido por , para um dado x, o valor de z varia de até .

Passo 6

Para x, observando os planos e , e sabendo que o cilindro tem raio 3, x varia de até . Porém, como e são proporcionais a x, podemos considerar apenas x positivos e depois dobrar o resultado se necessário.

Passo 7

Finalmente, para y, entre os planos e , então y varia de até .

Passo 8

Agora, montamos a integral tripla para o volume :

Passo 9

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a z:

Passo 10

Substituindo na integral, temos:

Passo 11

Integramos agora em y:

Passo 12

Então, a integral fica:

Passo 13

Notando que a função é ímpar (pois x multiplicado por uma função par é ímpar) e os limites são simétricos, a integral de -3 a 3 será zero. Isso indica que devemos considerar apenas a parte positiva de x e dobrar o resultado.

Passo 14

Então, ajustamos os limites para x de 0 a 3 e multiplicamos por 2:

Passo 15

Vamos usar uma substituição para resolver a integral. Seja , então , ou seja, .

Passo 16

Substituindo na integral:

Passo 17

Integrando :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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