Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido definido pelas condições e . A gente vai usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, para encontrar esse volume. Vamos precisar entender como essas superfícies se interceptam e definir os limites de integração direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as equações. A equação representa um cilindro circular com raio 3, alinhado ao eixo y. Isso significa que, para qualquer valor de y, a seção transversal no plano xz é um círculo com raio 3.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as desigualdades . Essas representam duas planos: e . Esses planos vão cortar o cilindro, e o sólido que queremos é a região dentro do cilindro que está entre esses dois planos.
Passo 4
Para configurar a integral tripla, vamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em y, depois em x e finalmente em z. Mas antes disso, precisamos determinar os limites de integração para cada variável.
Passo 5
Como o cilindro é definido por , para um dado x, o valor de z varia de até .
Passo 6
Para x, observando os planos e , e sabendo que o cilindro tem raio 3, x varia de até . Porém, como e são proporcionais a x, podemos considerar apenas x positivos e depois dobrar o resultado se necessário.
Passo 7
Finalmente, para y, entre os planos e , então y varia de até .
Passo 8
Agora, montamos a integral tripla para o volume :
Passo 9
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a z:
Passo 10
Substituindo na integral, temos:
Passo 11
Integramos agora em y:
Passo 12
Então, a integral fica:
Passo 13
Notando que a função é ímpar (pois x multiplicado por uma função par é ímpar) e os limites são simétricos, a integral de -3 a 3 será zero. Isso indica que devemos considerar apenas a parte positiva de x e dobrar o resultado.
Passo 14
Então, ajustamos os limites para x de 0 a 3 e multiplicamos por 2:
Passo 15
Vamos usar uma substituição para resolver a integral. Seja , então , ou seja, .