Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a função é e a região de integração é o quadrado . Basicamente, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis sobre uma região específica.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a região . Como está definido como , estamos falando de um quadrado no plano onde tanto quanto variam de a . Não dá pra desenhar aqui, mas pensa em um quadrado começando na origem (0,0) e indo até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. A gente vai integrar sobre esse quadrado. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a (ou vice-versa). Vamos fazer na ordem primeiro e depois :

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Separando a integral:
Para a primeira parte, é constante em relação a , então:
Para a segunda parte, é constante em relação a , então:
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar isso em relação a de a :
Separando as integrais:
Calculando cada parte:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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