Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=x cos (y)-y cos (x) e B=[0, pi2] times[0, pi2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy, onde a função é f(x, y) = x cos(y) - y cos(x) e a região de integração B é o quadrado [0, pi2] times [0, pi2]. Basicamente, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis sobre uma região específica.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a região B. Como está definido como [0, pi2] times [0, pi2], estamos falando de um quadrado no plano xy onde tanto x quanto y variam de 0 a pi2. Não dá pra desenhar aqui, mas pensa em um quadrado começando na origem (0,0) e indo até (pi2, pi2).

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. A gente vai integrar f(x, y) = x cos(y) - y cos(x) sobre esse quadrado. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x (ou vice-versa). Vamos fazer na ordem y primeiro e depois x:
integral0^pi2 integral0^pi2 (x cos(y) - y cos(x)) , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y. Separando a integral:
integral0^pi2 x cos(y) , dy - integral0^pi2 y cos(x) , dy
Para a primeira parte, x é constante em relação a y, então:
x integral0^pi2 cos(y) , dy = x [ sin(y) ]0^pi2 = x (1 - 0) = x
Para a segunda parte, cos(x) é constante em relação a y, então:
cos(x) integral0^pi2 y , dy = cos(x) [ y^22 ]0^pi2 = cos(x) ( pi^28 - 0 ) = pi^28 cos(x)
Então, a integral interna fica:
x - pi^28 cos(x)

Passo 5

Agora, vamos integrar isso em relação a x de 0 a pi2:
integral0^pi2 ( x - pi^28 cos(x) ) , dx
Separando as integrais:
integral0^pi2 x , dx - pi^28 integral0^pi2 cos(x) , dx
Calculando cada parte:
  1. integral0^pi2 x , dx = [ x^22 ]0^pi2 = pi^28
  2. integral0^pi2 cos(x) , dx = [ sin(x) ]0^pi2 = 1 - 0 = 1
Então, substituindo de volta:
pi^28 - pi^28 times 1 = pi^28 - pi^28 = 0

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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