Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a função é
e a região de integração
é o quadrado
. Basicamente, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis sobre uma região específica.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a região
. Como está definido como
, estamos falando de um quadrado no plano
onde tanto
quanto
variam de
a
. Não dá pra desenhar aqui, mas pensa em um quadrado começando na origem (0,0) e indo até
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. A gente vai integrar
sobre esse quadrado. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
(ou vice-versa). Vamos fazer na ordem
primeiro e depois
:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Separando a integral:
Para a primeira parte,
é constante em relação a
, então:
Para a segunda parte,
é constante em relação a
, então:
Então, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar isso em relação a
de
a
:
Separando as integrais:
Calculando cada parte:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral dupla é igual a 0.
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Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
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é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1 .
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.