Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração. integralpi2^pi[integralcos (x)-1^sen(x) f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a região de integração de uma integral dupla e depois calcular a área dessa região. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites de integração definem a região no plano xy e como inverter a ordem dessas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração que temos. A integral dada é:
integralpi2^pi[integralcos(x)-1^sin(x) f(x, y) , dy] , dx
Aqui, x varia de pi2 a pi, e para cada valor de x, y varia de cos(x) - 1 até sin(x).

Passo 3

Agora, vamos desenhar ou imaginar essa região no plano xy. O limite inferior de y é cos(x) - 1 e o limite superior é sin(x). Precisamos entender como essas funções se comportam no intervalo de x que estamos considerando.

Passo 4

Vamos determinar os valores mínimos e máximos de y na região. Para x entre pi2 e pi:
  • cos(x) varia de 0 a -1, então cos(x) - 1 varia de -1 a -2.
  • sin(x) varia de 1 a 0.
Portanto, y varia de -2 até 1.

Passo 5

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x em função de y. Ou seja, para cada y, vamos determinar os valores de x que satisfazem as inequações cos(x) - 1 <= y <= sin(x) com pi2 <= x <= pi.
Isso significa que, para um valor fixo de y, x vai variar desde a função inversa de cos^-1(y + 1) até a função inversa de sin^-1(y) dentro dos limites de x que temos.

Passo 6

Então, a integral com a ordem invertida fica assim:
integral-2^1 [ integralexpressão para x em função de y ] , dx , dy ãçã
Mas para especificar, precisamos encontrar as expressões exatas para os limites de x em função de y. Isso envolve resolver as equações y = cos(x) - 1 e y = sin(x) para x.
No entanto, como inversar as funções trigonométricas pode ser complicado, vamos representar os limites de x em termos das funções originais dentro do intervalo específico de x.

Passo 7

Finalmente, para calcular a área da região de integração, vamos integrar 1 sobre a região definida. Ou seja:
Área = integralpi2^pi integralcos(x)-1^sin(x) 1 , dy , dx Á
Invertendo a ordem de integração, temos:
Área = integral-2^1 integralpi2^pi 1 , dx , dy Á

Resposta

A área da região de integração é:
Área = integralpi2^pi integralcos(x)-1^sin(x) 1 , dy , dx = integral-2^1 integralpi2^pi 1 , dx , dy Á

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