Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a região de integração de uma integral dupla e depois calcular a área dessa região. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites de integração definem a região no plano xy e como inverter a ordem dessas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração que temos. A integral dada é:
Aqui, x varia de a , e para cada valor de x, y varia de até .

Passo 3

Agora, vamos desenhar ou imaginar essa região no plano xy. O limite inferior de y é e o limite superior é . Precisamos entender como essas funções se comportam no intervalo de x que estamos considerando.

Passo 4

Vamos determinar os valores mínimos e máximos de y na região. Para x entre e :
  • varia de 0 a -1, então varia de -1 a -2.
  • varia de 1 a 0.
Portanto, y varia de -2 até 1.

Passo 5

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x em função de y. Ou seja, para cada y, vamos determinar os valores de x que satisfazem as inequações com .
Isso significa que, para um valor fixo de y, x vai variar desde a função inversa de até a função inversa de dentro dos limites de x que temos.

Passo 6

Então, a integral com a ordem invertida fica assim:
ãçã
Mas para especificar, precisamos encontrar as expressões exatas para os limites de x em função de y. Isso envolve resolver as equações e para x.
No entanto, como inversar as funções trigonométricas pode ser complicado, vamos representar os limites de x em termos das funções originais dentro do intervalo específico de x.

Passo 7

Finalmente, para calcular a área da região de integração, vamos integrar 1 sobre a região definida. Ou seja:
Á
Invertendo a ordem de integração, temos:
Á

Resposta

A área da região de integração é:
Á

Exercícios relacionados

Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1 .
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Calcule o volume dos sólidos dados. e
Suponha contínua em . Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.