Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a região de integração de uma integral dupla e depois calcular a área dessa região. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites de integração definem a região no plano xy e como inverter a ordem dessas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração que temos. A integral dada é:
Aqui, x varia de
a
, e para cada valor de x, y varia de
até
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar ou imaginar essa região no plano xy. O limite inferior de y é
e o limite superior é
. Precisamos entender como essas funções se comportam no intervalo de x que estamos considerando.
Passo 4
Vamos determinar os valores mínimos e máximos de y na região. Para x entre
e
:
-
varia de 0 a -1, então varia de -1 a -2. -
varia de 1 a 0.
Portanto, y varia de -2 até 1.
Passo 5
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x em função de y. Ou seja, para cada y, vamos determinar os valores de x que satisfazem as inequações
com
.
Isso significa que, para um valor fixo de y, x vai variar desde a função inversa de
até a função inversa de
dentro dos limites de x que temos.
Passo 6
Então, a integral com a ordem invertida fica assim:
Mas para especificar, precisamos encontrar as expressões exatas para os limites de x em função de y. Isso envolve resolver as equações
e
para x.
No entanto, como inversar as funções trigonométricas pode ser complicado, vamos representar os limites de x em termos das funções originais dentro do intervalo específico de x.
Passo 7
Finalmente, para calcular a área da região de integração, vamos integrar 1 sobre a região definida. Ou seja:
Invertendo a ordem de integração, temos:
Resposta
A área da região de integração é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1 .
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Calcule o volume dos sólidos dados.
e
Suponha
contínua em
. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.